Aloha :)
zu a) Hier handelt es sich um ein Optimierungsproblem unter einer konstanten Nebenbedingung:$$P(x;y;z)=x^{\frac13}y^{\frac12}z^{\frac12}\to\text{Max}\quad;\quad g(x;y;z)=2x+y+3z=3600$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optmierenden Funktion kollinear zum Gradienten der konstanten Nebenbedingung sein:$$\small\operatorname{grad}P\stackrel!=\lambda\operatorname{grad}g\implies\begin{pmatrix}\frac13x^{-\frac23}y^{\frac12}z^{\frac12}\\[1ex]\frac12x^{\frac13}y^{-\frac12}z^{\frac12}\\[1ex]\frac12x^{\frac13}y^{\frac12}z^{-\frac12}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\implies P(x;y;z)\begin{pmatrix}\frac{1}{3x}\\[1ex]\frac{1}{2y}\\[1ex]\frac{1}{2z}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$$
Wir dividieren die Koordinatengleichungen paarweise und erhalten:$$\frac{P(x;y;z)\cdot\frac{1}{3x}}{P(x;y;z)\cdot\frac{1}{2y}}=\frac{\lambda\cdot2}{\lambda\cdot1}\implies\frac{2y}{3x}=\frac21\implies\pink{y=3x}$$$$\frac{P(x;y;z)\cdot\frac{1}{3x}}{P(x;y;z)\cdot\frac{1}{2z}}=\frac{\lambda\cdot2}{\lambda\cdot3}\implies\frac{2z}{3x}=\frac23\implies\pink{z=x}$$
Mit den beiden pinken Lagrange-Bedingungen gehen wir in die Nebenbedingung:$$3600=2x+\pink{y}+3\pink{z}=2x+\pink{3x}+3\pink x=8x\implies x=450$$
Damit haben wir das Optimum bei \(\,(x_0|y_0|z_0)=(450|1350|450)\,\) gefunden.
zu b) Wenn die Konstante \(3600\) auf \(3680\) erhöht wird, ändert sich an der Rechnung bis einschließlich zu den pinken Lagrange-Bedingungen nichts. Die Konstante kommt ja erst ins Spiel, wenn wir die Werte für \(\,x,y,z\,\) konkret ausrechnen wollen.
Daher muss nun gelten:$$3680=8x\implies x=460\implies y=1380\;;\;z=460$$
Der Output steigt entsprechend:$$P(450;1350;450)\approx5972,8\quad\mapsto\quad P(460;1380;460)\approx6150,4$$
