Wieviele Einheiten sollen von jedem Rohstoff eingesetzt werden, damit der Output maximal wird?

Question

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I22. Eine Firma produziert mit mit 3 Rohstoffen $A, B$ und $C$. Es seien $x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$ die eingesetzten Mengen der 3 Rohstoffe. Eine Einheit von Rohstoff $A$ kostet $2 \mathrm{GE}$ eine Einheit von $B$ kostet $1 \mathrm{GE}$ und eine Einheit von Rohstoff $C$ kostet $3 \mathrm{GE}$. Die Outputfunktion lautet
$P\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sqrt[3]{x_{1}} \cdot \sqrt{x_{2} \cdot x_{3}}$

Das Budget für den Rohstoffeinsatz beträgt 3600 GE.

Text erkannt:

(a) Wieviele Einheiten sollen von jedem Rohstoff eingesetzt werden, damit der Output maximal wird?
(b) Um wieviel steigt der Ouptut ungefähr, wenn das Budget für den Rohstoffeinsatz um 80 GE höher wird?
Beantworten Sie die Frage, ohne das Optimierungsproblem neu zu lösen!

Aufgabe: wie löst man diese Aufgabe? Kann mir jemand den Rechenweg schicken? Danke im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

zu a) Hier handelt es sich um ein Optimierungsproblem unter einer konstanten Nebenbedingung:$$P(x;y;z)=x^{\frac13}y^{\frac12}z^{\frac12}\to\text{Max}\quad;\quad g(x;y;z)=2x+y+3z=3600$$

Nach Lagrange muss der Gradient der zu optmierenden Funktion kollinear zum Gradienten der konstanten Nebenbedingung sein:$$\small\operatorname{grad}P\stackrel!=\lambda\operatorname{grad}g\implies\begin{pmatrix}\frac13x^{-\frac23}y^{\frac12}z^{\frac12}\\[1ex]\frac12x^{\frac13}y^{-\frac12}z^{\frac12}\\[1ex]\frac12x^{\frac13}y^{\frac12}z^{-\frac12}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\implies P(x;y;z)\begin{pmatrix}\frac{1}{3x}\\[1ex]\frac{1}{2y}\\[1ex]\frac{1}{2z}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$$

Wir dividieren die Koordinatengleichungen paarweise und erhalten:$$\frac{P(x;y;z)\cdot\frac{1}{3x}}{P(x;y;z)\cdot\frac{1}{2y}}=\frac{\lambda\cdot2}{\lambda\cdot1}\implies\frac{2y}{3x}=\frac21\implies\pink{y=3x}$$$$\frac{P(x;y;z)\cdot\frac{1}{3x}}{P(x;y;z)\cdot\frac{1}{2z}}=\frac{\lambda\cdot2}{\lambda\cdot3}\implies\frac{2z}{3x}=\frac23\implies\pink{z=x}$$

Mit den beiden pinken Lagrange-Bedingungen gehen wir in die Nebenbedingung:$$3600=2x+\pink{y}+3\pink{z}=2x+\pink{3x}+3\pink x=8x\implies x=450$$

Damit haben wir das Optimum bei $\,(x_0|y_0|z_0)=(450|1350|450)\,$ gefunden.

zu b) Wenn die Konstante $3600$ auf $3680$ erhöht wird, ändert sich an der Rechnung bis einschließlich zu den pinken Lagrange-Bedingungen nichts. Die Konstante kommt ja erst ins Spiel, wenn wir die Werte für $\,x,y,z\,$ konkret ausrechnen wollen.

Daher muss nun gelten:$$3680=8x\implies x=460\implies y=1380\;;\;z=460$$

Der Output steigt entsprechend:$$P(450;1350;450)\approx5972,8\quad\mapsto\quad P(460;1380;460)\approx6150,4$$