Zeigen Sie, dass für die Fibonacci-Zahlen z_{n+1}:=z_{n}+z_{n-1} , mit z_{0}=z_{1}:=1 , die folgende Ungleichung …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass für die Fibonacci-Zahlen \( z_{n+1}:=z_{n}+z_{n-1} \), mit \( z_{0}=z_{1}:=1 \), die folgende Ungleichung erfüllt ist.
\( z_{n} \leq\left(\frac{5}{3}\right)^{n} \)

Hinweis: Aus der Definition der Fibonacci Zahlen folgt, dass Sie für den Beweis den Induktionschritt \( A(n-1) \wedge A(n) \Rightarrow A(n+1) \) ausführen müssen.

Problem/Ansatz:

Der Induktionsanfag ist ja kein Problem, aber die Umformung um die beiden Therme vergleichbar zu machen verstehe ich nicht.

Comments

Der Induktionsschritt könnte etwa so aussehen:$$z_{n+1}=z_n+z_{n-1}\le\left(\frac53\right)^n+\left(\frac53\right)^{n-1}=\left(\frac53\right)^{n+1}{\cdot}\left(\left(\frac53\right)^{-1}+\left(\frac53\right)^{-2}\right)=\frac{24}{25}{\cdot}\left(\frac53\right)^{n+1}.$$

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Danke auf alle Fälle für die Antwort. Ich verstehe nicht ganz wie ich davon darauf folgern kann

z_n+1≤\( \frac{24}{25} \) ·\( \frac{5}{3} \)ⁿ⁺¹

Ich verstehe nicht wie ich zeige das z_n+1 definitiv kleiner oder gleich \( \frac{24}{25} \) ·\( \frac{5}{3} \)n+1 ist. Wie beweise ich hier das z_n+1 kleiner ist, bzw. wie führe ich es in eine Form über, wo es erkenntlich ist?

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Arsinoé4 hat doch gezeigt, dass gilt

\(z_{n+1}=z_n+z_{n-1}\le \dots =\frac{24}{25}\cdot\left(\frac53\right)^{n+1}\)

Und weil der Bruch kleiner ist als 1 gilt auch

\(z_{n+1}\le \left(\frac53\right)^{n+1}\).

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Schreib doch mal deine Rechnung auf, du brauchst ja nur < und nicht gleich

Gruß lul