Nullstellen von Polynomen mit hohen Potenzen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(d) Zeigen Sie, dass \( 2 x^{1984}+3 x^{2}-30 x+81 \) keine reellen Nullstellen besitzt.

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen,

mir fehlt bei dieser Aufgabe der Ansatz wie ich zeigen kann, dass es keine Nullstellen gibt.

Comments

Die Funktion hat keine Nullstellen, wenn sie immer >0 ist, oder ihr min positiv ist.

für x<1 spielt der erste Term fast keine Rolle, x=1 kann man leicht einsetzen, x>1 der erste Term übernimmt.

lul

Answer 1

Dass 3x²-30x+81 keine Nullstelle und wegen der Öffnung nach oben deshalb nur positive Werte hat, kannst du aber zeigen?

Answer 2

81 - 30·x hätte eine Nullstelle bei x = 2.7

Dieses ist keine Nullstelle da ja noch ein positiver Anteil von 2·x^1984 + 3·x^2 hinzu kommt.

Nullstellen der kompletten Funktion könnten also nur bei x > 2.7 auftreten.

Die Ableitung wäre f'(x) = 3968·x^1983 + 6·x - 30 und damit ist die Steigung schon ab x = 1 so stark positiv das wir für die original Funktion keine Nullstelle erwarten können.

Answer 3

Mache zum Beispiel quadratische Ergänzung wie folgt:

\( 2 x^{1984}+3 x^{2}-30 x+81 =2 x^{1984}+3\left(x^{2}-10 x+27 \right) \)

\(= 2 x^{1984}+3\left((x-5)^2 +2 \right) > 3\cdot 2 = 6\)

Damit sind alle Funktionswerte positiv und es gibt keine relle Nullstelle.