(a) Schreiben Sie die folgenden Aussagen als logische Ausdrücke mit Quantoren:
(i) Für alle \( x, y \in \mathbb{N} \) gilt: \( x-y=y-x \).
(ii) Sei \( S=\left\{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}\right\} \subset \mathbb{N} \). \( S \) hat genau ein Element, was mindestens so groß ist wie alle anderen in \( S \).
(b) Negieren Sie die beiden Aussagen aus (a). Schreiben Sie die negierte Version in natürlicher Sprache und als maximal vereinfachter logischer Ausdruck.
Maximal vereinfacht bedeutet hier, dass keine Negation mehr vor Quantoren steht.
Problem/Ansatz:
Meine Lösung:
Lösung zu a)
(i) Für alle \( (x, y \in N) \) gilt: \( (x-y=y-x) \).
Logischer Ausdruck: \( (\forall x, y \in N: x-y=y-x) \).
(ii) Sei \( \left(S=\left\{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}\right\} \subset N\right) \). ( \( S \) ) hat genau ein Element, das mindestens so groß ist wie alle anderen in \( (S) \).
Logischer Ausdruck: \( (\exists s \in S: \forall t \in S, t \leq s \wedge \neg \exists u \in S, u \neq s \wedge u>s \) ).
Lösung zu b)
Die negierten Versionen aus a) lauten:
(i) In natürlicher Sprache: Es gibt \( (x) \) und \( (y) \operatorname{in}(N) \), fürdie \( (x-y \neq y-x) \) nicht gilt.
Maximal vereinfachter logischer Ausdruck: \( (\exists x, y \in N: x-y \neq y-x) \).
(ii) In natürlicher Sprache: Die Menge \( \left(S=\left\{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}\right\} \subset N\right) \) hat nicht genau ein Element, das mindestens so groß ist wie alle anderen in \( (S) \).
Maximal vereinfachter logischer Ausdruck: \( \neg(\exists s \in S: \forall t \in S, t \leq s \wedge \neg \exists u \in S, u \neq s \wedge u>s) \)
habe ich irgendwelche fehler ?
