\( \frac{3^{k}+4^{-k}}{3^{k+1}+4^{-k-1}} \) mit 3-k erweitern gibt
\( \frac{1+12^{-k}}{3+0,25\cdot 12^{-k}} \)
Die Potenzen 12-k gehen für k→∞ gegen 0, also r=1/3.
Und im Inneren des Konvergenzgebietes gilt
\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3^{k}+4^{-k})x^{k}} \)
\( = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{3^{k}x^{k}} +\sum\limits_{k=0}^{\infty}{4^{-k}x^{k}} \)
\( = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3x)^{k}} +\sum\limits_{k=0}^{\infty}{(0,25x)^{k}} \)
mit der geom. Reihe ergibt sich als dargestellte Funktion
\( =\frac{1}{1-3x} + \frac{1}{1-0,25x} \)
