Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe bestimmen - Problem mit Grenzwert

Question

Aufgabe:

Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe bestimmen: \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{n+1}*(x/2)^n} \)

Problem/Ansatz:

Wir können ja das Wurzelkriterium verwenden und haben dann eine solche Formel:

\( \frac{1}{lim \sqrt{\frac{n}{(n+1)*2^n}}} \)  (nte Wurzel und Betragsstriche)

Jetzt komm ich jedoch beim Grenzwert nicht weiter. Der Grenzwert müsste ja 0,5 sein (Durch ausprobieren).

Kann mir jemand helfen diesen richtig zu berechnen? Eigentlich dachte ich dass ich den Term  auch folgendermaßen umschreiben könnte: \(\frac{n}{(n+1)*2^n}\)^\( \frac{1}{n} \)   und da sich 1/n an Null annähert steht doch x^0 was 1 entspricht.

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\frac{n}{(n+1)2^n}$$$$\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\sqrt[n]{\frac{n}{(n+1)2^n}}=\sqrt[n]{\frac{1}{2^n}}\cdot\sqrt[n]{\frac{n}{n+1}}=\frac{1}{2}\sqrt[n]{\frac{n+1-1}{n+1}}=\frac{1}{2}\sqrt[n]{1-\frac{1}{n+1}}$$$$\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow\quad r=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$

Comments

danke für die Hilfe :D