Hallo lukas2598! :-)
Man kann den Konvergenzradius
1) mit der Formel von Cauchy-Hadamard \( r = \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{\left |a_k \right |}} \) oder
2) mit der Formel \( r = \lim_{k \to \infty}\frac{\left |a_k \right |}{\left |a_{k+1} \right |} \) berechnen
1)
$$\left |a_k \right | = \frac{2k! + 1}{k!} = \frac{ \frac{2k!}{k!} + \frac{1}{k!}}{\frac{k!}{k!}} = 2 + \frac{1}{k!} \\r = \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{\left |a_k \right |}} = \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left(2 + \frac{1}{k!} \right)^{\frac{1}{k}}} = \frac{1}{e^{\limsup_{k \to \infty} \frac{1}{k} \ln\left(2 + \frac{1}{k!} \right)}} = \frac{1}{e^0} = 1\\$$
Die Reihe konvergiert für alle |x+2| < 1
2)
$$\left |\frac{a_k}{a_{k+1}} \right| = \frac{\frac{2k! + 1}{k!}}{\frac{2(k+1)! + 1}{(k+1)!}} = \frac{2k! + 1}{k!} \frac{(k+1)!}{2(k+1)! + 1} = \frac{(k+1)!}{k!} \frac{2k! + 1}{2(k+1)! + 1} = \frac{k!(k+1)}{k!} \frac{2k! + 1}{2(k+1)! + 1}= (k+1)\frac{\frac{2k!}{k!(k+1)}+\frac{1}{k!(k+1)}}{\frac{2(k+1)!}{k!(k+1)} + \frac{1}{k!(k+1)}}= (k+1)\frac{\frac{2}{(k+1)}+\frac{1}{k!(k+1)}}{2 + \frac{1}{k!(k+1)}} = \frac{2+\frac{1}{k!}}{2 + \frac{1}{k!(k+1)}} \\r = \lim_{k \to \infty} \left |\frac{a_k}{a_{k+1}} \right| = \lim_{k \to \infty} \frac{2+\frac{1}{k!}}{2 + \frac{1}{k!(k+1)}} = 1$$
Die Reihe konvergiert für alle |x+2| < 1
Beste Grüße
gorgar
