Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung
\( y^{\prime \prime}(x)-4 y^{\prime}(x)+6 y(x)=-6 \cdot e^{-6 \cdot x} \text {. } \)

Hinweis: Verwenden Sie für Konstanten c1, c2, ...
Komplexe Lösung der Differenzialgleichung \( y_{C}(x)= \)

Reellwertige Lösung der Differenzialgleichung \( y_{R}(x)= \)
Prüfen

Problem/Ansatz:

Ich habe die homogene Lösung y = C1 * e^2x * sin(sqrt(2) * x) + C2 *  e^2x * cos(sqrt(2) * x)

Wie gehe ich jetzt vor?

Comments

Ich habe die reellwertige Lösung: e^(2*x) (c1*sin(sqrt(2)*x) + c2*cos(sqrt(2)*x)) - 1/11*(e^(-6x))

Ist die komplexe Lösung dann?: c1 * e^((2-sqrt(2)i)*x) + c2 * e^((2+sqrt(2)i)*x) - 1/11*e^(-6x)

Answer 1

Hallo,

Meine Berechnung:

Deine Lösungen stimmen.

Answer 2

Auf der rechten Seite der DGL steht \(-6e^{-6x}\).

Also machst du für die gesuchte spezielle Lösung den Ansatz:

$$y=ae^{-6x}$$

Das setzt du in die DGL ein und erhältst eine Gleichung für \(a\). Nach Kürzen mit \(e^{-6x}\) erhältst du

$$a(36+24+6) = -6 \Rightarrow a=-\frac 1{11}$$

Eine spezielle Lösung der DGL ist also \(\boxed{y=-\frac 1{11}e^{-6x}}\).

Ergänzung zu deiner Frage im Kommentar unter deiner Aufgabe:

Sowohl die komplexe als auch die reelle Lösung ist korrekt.