Definitionsbereich einer Inversen Funktion

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben Sei die Abbildung
\( f: D_{f} \rightarrow[0, \infty), x \mapsto|x+3|^{3} \)

Vervollständigen sie die folgenden Aussagen.
a) Der Maximale Definitionsbereich von \( f \) ist
\( \begin{array}{l} D_{f}=\mathbb{R} \\ D_{f}=(-\infty, 3] \\ D_{f}=\mathbb{R} \backslash\{3\} \\ D_{f}=[3, \infty) \end{array} \)
b) Die Abbildung ist nicht injektiv \( \bullet \), da z.B. \( f(x)=1=f(y) \) gilt für \( x=-4 \quad \) und \( y=-2 \)
c) Die Abbildung ist surjektiv
d) Es ist \( f^{-1}((8,125])= \) \( \cup \)

Hinweis: Hinweis: In dieser Aufgabe geben Sie Intervalle bitte folgendermaßen an:
\( \begin{array}{l} (x, y)=o \circ(x, y) \\ (x, y]=o c(x, y) \\ {[x, y)=\operatorname{co}(x, y)} \\ {[x, y]=\operatorname{cc}(x, y)} \end{array} \)

Hierbei steht das " \( \mathrm{C} \) " für closed und das " \( \mathrm{o} \) " für open.

Ich soll in Aufgabe d) die inverse der Funktion bestimmen und ein Intervall angeben.

Problem/Ansatz:

Leider kriege ich die Aufgabe nicht gelöst und bräuchte Hilfe, da ich in wenigen Stunden die Abgabe habe! Eine Hilfe und Anleitung und Lösung zur Aufgabe wäre super! LG

Comments

Ich soll in Aufgabe d) die inverse der Funktion bestimmen

Danach ist nicht gefragt.

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wie soll ich denn dann die aufgäbe lösen?

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Damit ist das Urbild gemeint.

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das war aufjedenfall hilfreich. Was setzte ich aber nun für das linkere Intervall ein? 8 ist ja ausgeschlossen.

Ich habe da jetzt trotzdem 8 eingesetzt, aber das Intervall als (-5,1] angegeben.

und ist für 125 das Intervall [-8,2] richtig?

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(-5,-1) u [-8,2]

Würde ich jetzt sagen. dein Ansatz sieht also ganz gut aus.

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Mein Vorschlag: [-8,-5) ∪ (-1,2].

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Ich revidiere:

Nein, weil es hoch 3 ist werden negative x ja auch negativ.

Also folgt:
\( f^{-1}((8,125]) = (- \infty ,-1) \cup (-1, 2] \)

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Das solltest du auch revidieren.

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Hahaha ja gerade auch gemerkt… :D

Answer 1

\( f^{-1}((8,125]) = (- \infty ,-1) \cup (-1, 2] \)

Comments

\(f^{-1}((8,125])=(-\infty,-1)\cup(-1,2]\)

Darüber solltest du nochmal nachdenken.

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Bruh hab erstens bei dem ersten Intervall reingeschissen und zweitens die Betragsstriche übersehen. Kann ja passieren xD

Dann stimmt deins natürlich. Sorry für die Verwirrung.

Answer 2

Bei der Bestimmung eines Urbilds muss man zwar nicht immer eine inverse Funktion bestimmen, aber es ist oft sinnvoll, systematisch "rückwärts" zu rechnen, wie zum Beispiel so:

Gesucht sind also alle x mit

\(f(x) \in (8,125]\), oder anders geschrieben

\(8< |x+3|^3\leq 125 \stackrel{\sqrt[3]{\:}}{\Leftrightarrow }2<|x+3| \leq 5\)

Diese Ungleichungskette lässt sich nun einfach lösen durch Fallunterscheiden:

(1) \(2<x+3\leq 5 \Leftrightarrow 1<x\leq 2 \Leftrightarrow \boxed{x\in (-1,2]}\)

(1) \(2<-(x+3)\leq 5 \Leftrightarrow \)

\(-2>x+3\geq -5\Leftrightarrow -5 > x \geq -8 \Leftrightarrow \boxed{x\in [-8,-5)}\)

Zusammen:

\(f^{-1}((8,125]) = [-8,-5) \cup (-1,2]\)