Beweisen Sie: f ∈ R(I) mit.... (Riemann Integral)

Question

Seien b > 0 und f () ∶= x³, x ∈ I ∶= [0, b], gegeben. Beweisen Sie: f ∈ R(I) mit

\( \int \limits_{0}^{b}x^3dx=\frac{b^4}{4} \)

Und als Hinweis habe ich folgendes gegeben:
"Zeigen Sie für den Beweis: \( \sum \limits_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2}{4}(n+1)^2,\ \ \ n\in N \)"


Hat jemand einen guten Lösungsweg dafür?

Comments

Betrachte einfach die Unter- und Obersummen für die Zerlegungen

\(x_k^{(n)} = k\frac bn\)

Die haben für \(n\to\infty\) denselben Grenzwert \(\frac{b^4}4\). Das zeigt die Riemann-Integrierbarkeit und liefert auch den Wert des Integrals.

Answer 1

Hallo

schreib die Ober und Untersumme hin für Einteilung b/n  dann n gegen oo, dazu brauchst du die Summenformel, die du durch Induktion beweisen kannst,

Gruß lul