Riemann-Integral an einem Beispiel

Question

Text erkannt:

b) Wemn \( f(x)>0 \quad \forall x \in[a, b] \) istke es en \( y \in[a, b] \) gibl mit \( f\left(y>0\right. \), ,s ist auch \( \int \limits_{a}^{b} f(x d x>0 \) \( \forall x \in[0,1, n \in \mathbb{N} \). gral O. Damit ist die Ausage falsh.

Hi,

ich habe hier eine Frage zum Thema Riemann-Integral. Es ging um folgende Aussage, die ich verneinen oder verifizieren sollte. Ich habe sie verneint und ein Gegenbeispiel genommen. Das Gegenbeispiel müsste ja stimmen. Die Frage ist, ob mein Rechenweg das Integral des Gegenbeispiels auszurechnen, stimmt.

Comments

Ja, das ist richtig. Du kannst es Dir noch etwas einfacher machen und \(\tau_n(x)=0\) setzen für \(x \leq 1-1/(2n)\). Und auch einfach 1/n statt 1/(2n).

Ich frage mal: Es steht nicht zufällig im vorhergehenden Teil der Aufgabe, dass f stetig ist?

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Dankeschön. Ja dein Beispiel ist super. Da kriegt man ja am Ende als Integral der Treppenfunktion 1/n^2 raus und das konvergiert ja direkter gegen 0  :)

Answer 1

Ich finde die Aussage merkwürdig formuliert, weil das Integral ja gar nicht existieren muss (siehe Dirichlet-Funktion). Also mal angenommen das Integral soll existieren.

Die Treppenfunktionen sind unnötig.

Dein \(f\) kannst Du so wählen, das ist gut. Die Integrierbarkeit zeigt man am einfachsten über Unter/Obersummen zu einer (natürlich beliebigen) Zerlegung. Die Untersummen sind für jede Zerlegung \(=0\). Die Obersumme zu einer Zerlegung ist \(\le\delta\) (wobei \(\delta\) die Feinheit der Zerlegung ist. Aus beidem folgt, dass das Integral \(=0\) ist.

Comments

Ich sehe Deinen Einwand gegen die Treppenfunktion nicht ganz: Ob nun Obersummen-Folgen oder nach oben abschätzende Treppenfunktions-Folgen ist doch Jacke wie Hose...

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Klar läuft das auf's gleiche raus. Ich editiere oben nochmal.

Ich sehe nur nicht, warum hier überhaupt Treppenfunktionen nötig sein sollen, das kann man sich doch sparen (und erst recht so eine unnötig aufgeblähte).

Man braucht eine Zerlegung (und dass dahinter eine Treppenfunktion steckt, ok, aber wozu die überhaupt definieren?).

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Ja das mit den Ober und Untersummen habe ich auch gesehen. Wir haben das Ober und Unterintegral halt hauptsächlich als Limes dieser Treppenfunktionen-Folgen definiert. In dem Fall ist es ja aber egal welche Treppenfunktion man da hauptsächlich wählt (Natürlich soll die nicht zu gross sein). Im Endeffekt soll sie das Ober bzw. Unterintegral approximieren.

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Wenn Ihr das Integral so definiert habt, also ohne Unter/Obersummen (und die Begriffe Unter/Obersummen unbekannt sind), dann musst Du es halt so machen. Dann nimm aber, wie mathhilf oben sagt, die vereinfachte Funktion \(f_n(x)=1\) auf \([1-\frac1n,1]\) und \(0\) sonst. Der Einwand zum Integral generell bleibt aber (dass es gar nicht existieren muss).