0 Daumen
537 Aufrufe

Aufgabe:

Begründe, ob die folgende Funktion Riemann-integrierbar auf dem angegebenen Intervall ist und berechne in diesem Fall das Integral.


b(x) = x+x2 \frac{x+|x|}{2} , [-2,4]


Ich würde zuerst die Funktion auf Stetigkeit überprüfen, allerdings stehe ich da grad auf dem Schlauch und komme nicht weiter :/ Wie löse ich das am besten?

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Die Funktion können durch Fallunterscheidung umschreiben:b(x)={xfu¨rx[04]0fu¨rx[20[b(x)=\left\{\begin{array}{rcl}x &\text{für}& x\in[0|4]\\0 &\text{für}& x\in[-2|0[\end{array}\right.Als Polynom sind beide Teilfunktionen stetig. Am Übergangspunkt x=0x=0 sind links- und rechtsseiger Grenzwert identisch:limx0b(x)=limx00=0;limx0b(x)=limx0x=0\lim\limits_{x\nearrow0}b(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}0=0\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow0}b(x)=\lim\limits_{x\searrow0}x=0Also ist die Funktion auch in x=0x=0 stetig. Als stetige Funktion ist die Funktion Riemann-integrierbar:I=24b(x)dx=200dx+04xdx=[x22]04=422=8I=\int\limits_{-2}^4b(x)dx=\int\limits_{-2}^00d\,x+\int\limits_0^4x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=\frac{4^2}{2}=8

Avatar von 152 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage