Aufgabe:
1)
Seien ϕ : A → B und ψ : B → C zwei Abbildungen und ψ ◦ ϕ ihre Komposition.
a) Zeigen Sie, dass falls ψ ◦ ϕ surjektiv ist, dann ist auch ψ surjektiv.
b) Beweisen Sie oder Widerlegen Sie, dass in diesem Fall auch ϕ surjektiv sein
muss.
2)
a) Zeigen Sie, dass in jedem Körper K (−a) · (−b) = a · b ∀a, b ∈ K gilt.
b) Beweisen Sie oder widerlegen Sie, dass zwei K-Vektorräume A und B isomorph sind, wenn dimK(A) = dimK(B) gilt.
3)
a) Sei K ein Körper und A ∈ Mm×n(K) eine Matrix. Zeigen Sie, dass der
Zeilenrang von A gleich dem Rang von A ist.
b) Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass die Abbildung
a : V → V^(∗∗), a → < a, · > ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.
4)
a) Zeigen Sie, dass fur das Gruppenhomomorphismus ϕ : A → B ϕ(A) eine
Untergruppe von B ist.
b) Formulieren Sie wörtlich, was Sie unter einem Dualraum verstehen.
