Aufgabe aus einer Probeklausur: Abbildungen im F^2

Question

Huhu,

Ich bräuchte Hilfe bei der Lösung zu der folgenden Aufgabe:

$$Wir\: wissen,\: dass\: H = Abb(ℝ,\mathbb{F}_2)\:ein\:\mathbb{F}_2-Vektorraum\:ist.\:Sei\:\\F:H\rightarrow(\mathbb{F}_2)^2,\\f\longmapsto(f(1),f(0))^T.$$

Dies ist eine eine lineare Abbildung(das brauchen wir nicht zu zeigen).

$$(a)\:Sei\:f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{F}_2\:die\:Abbildung\:mit\:f(x)=0,\:falls\:x\,\le\,0\:und\:f(x)=1,\:falls\:x\,>\,0.\:Geben\:Sie\:F(f)\:an.\\(b)\:Zeigen\:Sie,\:dass\:F\:surjektiv\:ist.\\(c)\:Ist\:F\:ein\:Isomorphismus?\:Begründen\:Sie\:Ihre\:Antwort.$$

Der Musterlösungsvorschlag:

$$(a)\:F(f)\,=\,(1,0)^T.\\(b)\:Es\:sei\:f\:wie\:in\:(a),\:g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{F}_2\:die\:Nullabbildung,\:h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{F}_2\:die\:Abbildung,\:die\:\mathbb{R}\:konstant\:auf\:1\in\mathbb{F}_2\:abbildet\:und\:k:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{F}_2\:mit\:k(x)=1,\:falls\:x\le0\:und\:k(x)=0,\:falls\:x>0.\:Man\:überlegt\:sich,\:dass\:\{F(f),F(g),F(h),F(k)\}=(\mathbb{F}_2)^2\:ist.\:Dies\:ist\:nur\:eine\:mögliche\:Wahl\:für\:f,g,h\:und\:k.\\(c)\:Nein.\:Es\:sei\:z.B.\:h\:wie\:in\:(b)\:und\:l:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{F}_2\:die\:Abbildung\:mit\:l(x)=1,\:falls\:x>-1\:und\:l(x)=0,\:falls\:x\:\le-1.\:Dann\:ist\:F(h)=F(l).$$

Wie kann ich F(f) angeben?

Wie kann ich zeigen, dass F surjektiv ist?

Wie erkenne ich ob es sich um einen Isomorphismus handelt und wie begründe ich dies?

Vielen Dank und beste Grüße

Cellrok

Answer 1

Wie kann ich F(f) angeben?

Einfach die Def. von F benutzen:

F(f) = ( f(1), f(0) ) ^T  = ( 1 , 0 ) ^T 

denn es ist f(1)=1 , weil in der Def. von f steht: 

für x>0 ist f(x)=1 und entsprechend f(0)=0 .

Wie kann ich zeigen, dass F surjektiv ist?

Dazu musst du schauen, ob es zu jedem El. (a,b)^T  von (F₂)^2 ein f gibt,

mit F(f) = (a,b)^T  .  Für  ( 1 , 0 ) ^T  ist das ja aus a) bekannt. 

Für die anderen 3 Möglichkeiten  ( 0 , 0 ) ^T  ( 1 , 1 ) ^T  ( 0 , 1 ) ^T 

bekommst du es durch eine geeignete andere Definition von f.

Wie erkenne ich ob es sich um einen Isomorphismus handelt und wie begründe ich dies?

Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abb.

linear brauchst du ja nicht zu zeigen.

surjektiv hast du aus Teil b) 

injektiv klappt aber nicht; denn es gibt ja nicht nur die Abb. aus Teil a), die 

das Bild   ( 1 , 0 ) ^T  hat, sondern wenn du die Def. abänderst, etwa 

f(x) = 1  für x>0,5  und  f(x)=0 sonst. 

Dann hast du das gleiche Bild, also keine Injektivität.