Dualräume, Lineare Abbildungen, V -> F^n

Question

Aufgabe:

Es seien V ein endlichdimensionaler Vektorraum, v1, . . . , vm ∈ V und Γ: V∗ → F^m die durch Γ(ϕ) := (ϕ(v1), . . . , ϕ(vm)) definierte lineare Abbildung.

1. Zeigen Sie, dass v1, . . . , vm genau dann V aufspannen, wenn Γ injektiv ist.
2. Zeigen Sie, dass v1, . . . , vm genau dann linear unabhängig sind, wenn Γ surjektiv ist.
3. Es sei nun U := Span(ei | i ∈ N) ⊂ F∞. Zeigen Sie dass U* isomorph zu F∞ ist.

Problem/Ansatz:

ich würde mich über etwas Hilfe bei meiner Agla-Aufgabe freuen. Ich bin mirleider gar nicht sicher, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe. Deswegen habe ich ein Diagramm gezeichnet und hier hochgeladen.
Die orange markierte Abbildung ist doch der Dualraum, oder? Weil von V nach F^n abgebildet wird. Und Groß-Phi bildet dann vom Dualraum nach F^m ab, oder? Warm ist dann aber Γ(ϕ) := (ϕ(v1), . . . , ϕ(vm))? Ich dachte, dass (ϕ(v1), . . . , ϕ(vm)) die Dualen Abbildung seien?

Ich hoffe, jemand findet etwas Zeit und Nerven, um mir meinen Denkfehler zu erklären.
Liebe Grüße und schon mal einen guten Rutsch! Zwetschge

Answer 1

Hallo,

ich glaube, Du hast das noch nicht richtig verstanden.

\(V^{\ast}\) bezeichnet - wahrscheinlich - den Dualraum zu V, also den Raum der linearen Funktionale \(\phi : V \to F\). Das ist selbst ein linearer Raum und nicht eine Abbildung. Die Abbildung \(\Gamma\) ordnet jedem linearen Funktional \(\phi\) das Tupel \((\phi(v_1), \ldots \phi(v_m))\) der Bilder der \(v_i\) zu. Dieses \(\Gamma\) ist linear, wie in der Aufgabe gesagt.

Zeigen wir mal die erste Aussage.

Sei also \(\text{span}(v_1, \ldots v_m)=V\). Wir wollen zeigen, dass \(\Gamma\) injektiv ist. Dazu nehmen wir an, dass für ein \(\phi \in V^{\ast}\) gilt, dass \(\Gamma(\phi)=0\), also \(\phi(v_1)= \cdots \phi(v_m)=0\). Sein nun \(x \in V\) beliebig, also

$$x=\sum_{i=1}^n s_iv_i \Rightarrow \phi(x)=\sum_{i=1}^n s_i \phi(v_i)=0 $$

Also gilt für alle \(x \in V\):\(\phi(x)=0\). D.h. \(\phi\) ist das Null-Funktional.

Die ungekehrte Richtung zeigen wir indirekt: Wir nehmen an, es existiert ein \(x \in V\) mit \(x \notin \text{span}(v_1, \ldots v_m)\). Dann definieren wir ein lineares Funktional \(\phi \in V^{\ast}\) durch

$$\phi(sx):=s \text{ und } \phi(v)=0 \text{ für alle } v \notin \text{span}(x).$$

Dann ist \(\Gamma(\phi)=0\) aber nicht \(\phi=0\)

Gruß

Comments

Hallo MathePeter,
vielen lieben Dank für deine Antwort und deine Zeit:)
Stimmt, mit Dualräumen werde ich nicht wirklich warm…
Mich hat etwas irritiert, dass Γ(ϕ) als (ϕ(v1), . . . , ϕ(vm)), anstatt Γ(ϕi):= (ϕ(vi), oder so ähnlich. Erstie-Struggles:/
Deinen ersten Beweis kann ich gut nachvollziehen. Aber warum ist ϕ(v)=0 für alle v nicht Element span(x). ϕ(v) ist dann Element von span(v1,…,vm), weil es nicht Element von span(x) ist, oder? Gleichzeitig hast du ϕ dadurch dann so definiert, dass es nicht das Null-Funktional ist? Hast du damit gezeigt, dass dieses x nicht existiert, wenn Γ(ϕ) nicht nicht injektiv ist?
Liebe Grüße, Zwetschge

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Hallo,

ich bezeichne mal zur Abkürzung \(S:= \text{span}(v_1, \ldots v_m)\). Wir wollen zeigen:

$$\Gamma \text{ injektiv} \Rightarrow S=V$$

Wir machen das indirekt:

$$S \neq V \Rightarrow \Gamma \text{ nicht injektiv} $$

Wir verwenden die Charakterisierung:

$$\Gamma \text{ injektiv} \iff \forall \phi \in V^{\ast}: \left[\Gamma (\phi)=0 \Rightarrow \phi=0\right].$$

Wenn \(S \neq V\) ist, konstruieren wir ein spezielles Funktional \(\phi\), wie oben beschrieben, das dieser Charakterisierung widerspricht.

Gruß

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Okay, jetzt hab ich's wirklich verstanden. Vielen lieben Dank! Dann versuche ich mich mal an der 2.:)