Es existiert ein g ∈ V∗∗ mit g(u) = 1 für alle u ∈ X∗.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Wir betrachten die kanonische K-lineare Abbildung β : V → V∗∗,

v → β_v wobei β_v gegeben ist durch βv : V∗ → K, ϕ → ϕ(v). Sei X = (v_i)_i∈I eine Basis von V . Wir betrachten auch
das System X∗ := (ϕ_i)_i∈I der durch ϕi(vj ) := δ_i,j definierten Linearformen ϕ_i ∈ V∗.
Zeigen Sie:
1. β ist injektiv.
2. X∗ ist linear unabhängig.
3. Es existiert ein g ∈ V∗∗ mit g(u) = 1 für alle u ∈ X∗.
4. Ist V unendlich-dimensional, so ist β nicht surjektiv.

Answer 1

Hast du dir denn selber mal Gedanken gemacht? Was hast du für Ansätze und Ideen? Wo hängt es?

Es bringt dir doch überhaupt nichts, dir die Zettelaufgabe jede Woche vorsagen zu lassen.

Answer 2

Grüße von einem weiteren verzweifelten Physik Ersti :)

Also mein einziger Ansatz für die a) ist zu zeigen, dass der Kern Null ist, aber hab auch keinen Plan ob der ausreicht.