Zeige: Wenn 100m+n durch 7 teilbar ist, dann ist auch m+4n durch 7 teilbar

Question

Aufgabe:

$$ \text{ Zeige: Wenn 100m+n durch 7 teilbar ist, dann ist auch m+4n durch 7 teilbar mit } n,m\mathbb\in {N} $$

Problem/Ansatz:

Ich habe ne Lösung gefunden, jedoch kann ich dies nicht ganz nachvollziehen.

Hier die Lösung:

$$ (1)\text{ } 100m+n \equiv 0 \text{ (mod 7) } \Longrightarrow m+4n \equiv 0 \text{ (mod 7) } \\ (2)\text{ } 100m+n \equiv 0 \text{ (mod 7) } \Longrightarrow 2m+n \equiv 0 \text{ (mod 7) } \\ (3)\Longrightarrow 8m+4n \equiv 0 \text{ (mod 7) } \\ (4) \Longrightarrow m+4n \equiv 0 \text{ (mod 7) } \\ $$

Zu Zeile 2: Wegen 100 mod 7 <=> 2  mod 7. OK

Jedoch verstehe ich Zeile 3 nicht. Woher kommt die 8 her? Wo wurde hierbei was eingesetzt bzw. was genau wurde umgeformt. Bitte ruhig ausführlich, falls geht.
Danke!

Comments

Tippfehler:

$$ (2)\text{ } 100m+n \equiv 0 \text{ (mod 7) } \Longrightarrow 2m+n \equiv 0 \text{ (mod 7) } \\ $$

Answer 1

Ich vermute einen Tippfehler in der zweiten Zeile der Lösung.
Dort heißt es       \((2)\ 100m+n\equiv0\ (\bmod\ 7)\Longrightarrow2m+{\color{red}4n}\equiv\ 0\ (\bmod\ 7)\).
Soll wohl heißen \((2)\ 100m+n\equiv0\ (\bmod\ 7)\Longrightarrow2m+{\color{red}n}\equiv\ 0\ (\bmod\ 7)\).
Die dritte Zeile folgt dann nach Multiplikation mit 4.

Comments

Da stimmt. Da habe ich mich wohl vertippt.

Multiplikation mit 4, stimmt. Aber jetzt frag ich mich warum man das gemacht hat?
Wahrscheinlich wegen 8 mod 7=1? also um auf die Form zu kommen, oder?

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Das ist richtig.