Zeige: Wenn x durch 17 teilbar ist, dann ist auch f(x) durch 17 teilbar.

Question

f(x) sei eine Zahl, die entsteht, wenn man die Einerziffer von x streicht und die dann verbliebene Zahl um das Fünffache der Einerziffer vermindert. Zeige: Wenn x durch 17 teilbar ist, dann ist auch f(x) durch 17 teilbar.

Comments

Das ist die Teilbarkeitsregel für die 17 :)

Ohne Beweis: https://www.matheretter.de/wiki/teilbarkeit-durch-17

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Danke für den Hinweis, dass die Umkehrung meiner Regel bereits im Mathe-Wiki steht. Aber wie beweist man meine Regel (und deren Umkehrung)?

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Ansatzidee ist die Schreibung der Zahl als 10a + b, wobei die b die Endziffer ist.

Und damit c = a - 5b

Bin nun weg, kann das aber später ausführen ;).

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Aber wie beweist man meine Regel (und deren Umkehrung)?

Du solltest mal deine Beweggründe der Fragestellung mit an die Frage schreiben.

1. Ich möchte nur eine Kontroll-Lösung

2. Ich habe keinen Plan, wie man rangeht.

3. Ich kenne die Lösung, aber ich finde die Aufgabe so schön, dass auch andere sich damit beschäftigen sollen.

4. andere Antwort.

Das hilft vielleicht den Antwortenden etwas, wenn sie sich fragen, worauf sie bei der Beantwortung eingehen sollen.

Answer 1

10·a + b = 17·n --> b = 17·n - 10·a

f(x) = a - 5·b = a - 5·(17·n - 10·a) = 51·a - 85·n = 17·(3·a - 5·n)

Comments

3. Ich kenne die Lösung, aber ich finde die Aufgabe so schön, dass auch andere sich damit beschäftigen sollen.

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Wie wäre denn dein Beweis gewesen?

Du weißt ja das es meist meherer Beweisvarianten gibt. Wie beim Satz des Pythagoras z.B. mehr als 400 Beweisvarianten.

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Mein Beweis:

Die natürliche Zahl x=10a+b (b einstellig),d.h. a=(x-b)/10

f(x)=a+5b ist eine natürliche Zahl

f(x)=(x-b)/10-5b=(x-51b)/10

Da f(x) eine natürliche Zahl ist, ist auch x-51b eine natürliche Zahl. Die Differenz zweier durch 17 teilbarer Zahlen (x und 51b) ist durch 17 teilbar. Daher ist auch 10·f(x) durch 17 teilbar und weil 17 und 10 teilerfremd sind, ist f(x) durch 17 teilbar.