Beurteilung, durch einen Beweis, das a² ≡ a • b (mod m) , auch a ≡ b (mod m)

Question

Aufgabe: Begründen Sie Ihre Beurteilungen, durch einen Beweis, über die Definition von Modulo oder der Teilbarkeit (dann wahr, falsch)

Wenn a² ≡ a • b (mod m) gilt, darin gilt auch a ≡ b (mod m).

Problem/Ansatz:
Ich verstehe nicht mehr was ab Schritt 3. gemacht wurde. Bitte um Erklärung, warum ...+ (a - a) b} nun dazukommt usw.

1. es gelte a * a ≡ a * b (mod m)
2. => m | (a * a - a * b)
3. => m | {(a - b) * a + (a - a) b}
4. => m | (a - b) a und m | 0

5. => es existiert t in N mit m * t = 0
da t != 0 und m != 0 ist dies ein Widerspruch und die Behauptung ist falsch

Comments

Schau dir mal meine Antwort hier an. Vielleicht hilft dir das fürs Verständnis.

Answer 1

Bitte um Erklärung, warum ...+ (a - a) b nun dazukommt usw.

Es KANN dazukommen, weil diese Hinzunahme nicht falsch ist.

(a-a) ist nun mal 0, deshalb ist (a - a) b auch 0.
Und wenn man zu irgendeinem beliebigen Wert 0 addiert, bleibt der vorhanden Wert unverändert erhalten.

Der bisherige Wert war (a * a - a * b), was sich auch als a * (a -  b) schreiben lässt.

Und a * (a - b) ist das Gleiche wie a * (a - b) +0.

Statt 0 hat man nur (a - a) b verwendet.

Comments

Danke, aber was ist der Grund bzw. Ziel, sorry bin blind :/

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Der Übergang von 3) nach 4 ist auch voll dämlich.

Aus 5| (3+7) folgt noch lange nicht 5|3 und 5|7.

Deine Leerkraft hat hier eine beweistechnische Nullnummer hingelegt.

Bereits aus 2) folgt (weil a*a-a*b = a(a-b) ist, ) dass aus m|a*a-a*b auch m|a(a.b).

Man erhält also den Bestandteil von 4)

("m|a(a.b).") ohne den dämlichen Schritt über 3).

Der zweite Teil von 4)

m | 0

gilt sowieso für alle n≠0.

Was ist eigentlich deine Leerkraft von Beruf?

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:/ Oje keine Ahnung... danke trotzdem!! Wie würden Sie vorgehen?

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Im Übrigen kannst du den ganzen Schwachsinn durch ein Gegenbeispiel widerlegen:

Zwar gilt 2·2≡7·2 mod 10,

aber nicht

2≡7mod 10,

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D.h. zwar gilt 2·2≡7·2 mod 10, => 4 ≡ 4 mod 10
Aber nicht...
2≡7mod 10    Rückfrage ggT(2,10)=2  und ggT(7,10)=1
darf ich da multiplizieren, damit ich eine kleinere Zahl bekomme, wie etwa

ggT(2,10)=2   darf alles mit 2 multiplizieren
ggT(7,10)=1   keine Ahnung, was darf ich da nun, darf ich da die inneren Seiten multiplizieren?

d.h. 2≡7mod 10 |*2 (darf ich nun alles mit 2 multiplizieren) was ist mit dem 7er?

4≡14mod 20 |*2 , dann Rest rechnen, bleibt
4≡14mod 20

Danke vorab, das würde mir sehr weiterhelfen!