2 ≡ 7 (mod 10) => Rückfrage, wenn ggT(2,10)=2 und ggT(7,10)=1, was sagt mir das?

Question

Aufgabe:

I. Wir haben 4 ≡ 14 (mod 10) => 4 ≡ 4 mod 10

Problem/Ansatz:
Und dann...
2 ≡ 7 (mod 10) => An sich kommt bei mod(10) immer 2 ≡ 7 raus; Rückfrage, wenn ggT(2,10)=2  und ggT(7,10)=1, was hat das für einen Einfluss und kann ich da weiterrechnen, und wie?
Angenommen:
II. Aus Theorie, weiß ich darf 2 ≡ 7 mit allem multiplizieren, mod bleibt gleich
2*2≡7*2 (mod 10) dann komme ich aber wieder zu I. zurück und es ist kongruent. Was mache ich falsch??

Was mache ich mit ggT(7,10)=1  keine Ahnung, was sagt mir das während ggT(2,10)=2 ist?

Eine gute Erklärung wäre wirklich sehr hilfreich, danke vorab.

Answer 1

Es wäre gut, wenn du die Beschreibung deines Problems etwas klarer formulierst.

Meines Erachtens hast du noch ein Problem beim Kürzen in Kongruenzen, bei dem man tatsächlich etwas genauer aufpassen muss.

Gelegentlich ist es gut, nochmal auf die Definition der Kongruenz zurückzugehen, um nicht erlaubte Rechnungen zu verstehen.

An sich kommt bei mod(10) immer 2 ≡ 7 raus

Das ist offensichtlich falsch, denn \(2-7 = -5 \neq k\cdot 10\) mit ganzem \(k\).

Aus deinem Text entnehme ich, dass du Probleme beim Kürzen mit 2 hast bei $$4\equiv 14 \mod 10$$

Also nochmal zurück auf die Definition:

$$4-14 = 2(2-7) = {\color{blue}-1}\cdot 10$$

Wenn du diese Gleichung durch 2 teilst und alles ganzzahlig bleiben soll, musst du den Modul 10 durch 2 teilen. Du erhältst also

$$2-7 = -1\cdot 5 \Rightarrow 2\equiv 7 \mod {\color{blue}5}$$

Answer 2

Vielleicht klart das deine Probleme, siehe Satz (V):

Quelle: Korrespondenzzirkel Mathematik - Arbeitsmaterial für Klasse 7

Text erkannt:

Es gelten folgende Sätze :
(I) \( a \equiv b(m) \quad \) und \( c \equiv d(m) \quad \Rightarrow \quad a \pm c \equiv b \pm d(m) \).
(II) \( a \equiv b(m) \quad \) und \( c \equiv d(m) \quad \Rightarrow \quad a c \equiv b d \quad \) (m) .
(III) \( \quad a \equiv b(m) \quad \Rightarrow \quad a^{n} \equiv b^{n} \quad(m) \).
(IV) \( a b \equiv 0 \) (p) und \( p \) ist Primzahl \( \Rightarrow \quad a \equiv 0(p) \) oder \( b \equiv 0 \) (p) .
(V) \( a c \equiv b c(m) \) und \( c \equiv 0(m) \) und \( g g T(c ; m)=d \Rightarrow a \equiv b\left(\frac{m}{d}\right) \).
(VI) Wenn \( m \) und \( c \) teilerfremd sind, dann gilt: \( a c \equiv b c(m) \) und \( c \equiv 0(m) \Rightarrow a \equiv b(m) \)

Comments

Dankeschön, sehr gute Hilfe.