a)Für welche m∈ ℕ gilt: -11 ≡ 1 (mod m) b) Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen gilt: n^3 ≡ n (mod 3)

Question

kann jemand mir hierbei helfen?

a)Für welche m∈ ℕ gilt: -11 ≡ 1 (mod m)

b) Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen gilt: n^3 ≡ n (mod 3)

Answer 1

Für welche m∈ ℕ gilt: -11 ≡ 1 (mod m)

d.h.     -11 =  x*m + 1

<=>   -12 = x*m

Es muss also m ein Teiler von -12  bzw. 12 sein.

Mögliche Werte in ℕ sind 12 ; 6 ; 4 ; 3 ; 1

Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen gilt: n^3 ≡ n (mod 3)

d.h. (s.o.)     n^3 - n  muss durch 3 teilbar sein.

Dem ist so; denn n^3 - n = n* (n^2 -1) = n*(n+1)*(n-1)

und von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer

eine durch 3 teilbar und damit auch deren Produkt.

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Vielen Dank!

Answer 2

$$a \equiv \;b \;mod\;m$$ ist definiert durch

m | (b-a).

$$-11 \equiv \;1 \;mod\;m$$ lässt sich deshalb umschreiben in
m | (1-(-11)),

also m | 12.

Für m kommen also nur Teiler von 12 in Frage.

b)  n³ ≡ n (mod 3) lässt sich umschreiben zu

n³-n ≡ 0 (mod 3).

Faktorisiere den Term n³-n.

Du wirst feststellen, dass einer der drei Faktoren stets durch 3 teilbar ist.

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Vielen Dank !