Zeigen Sie folgende Aussagen:

Question

Aufgabe:

Es seien V,W zwei K-Vektorräume, U⊂V ein Untervektorraum und f:V→W ein Homomorphismus. Zeigen Sie folgende Aussagen:

a) Es sind äquivalent:

•Es existiert genau ein Homomorphismus g:V/_U →W, sodass das Diagramm

g:V/U →W

π:V→V/U

f:V→W

kommutiert, d.h. sodass g°π=f gilt.

•U⊂Kern(f)

b) g ist injektiv genau dann, wenn U=Kern(f)

c) g ist surjektiv genau dann, wenn f surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß für b), dass gilt: g ist injektiv, wenn Kern(g)=0. Bei den anderen Aufgaben habe ich leider gar keinen Ansatz.

Answer 1

Ich weiß für b), dass gilt: g ist injektiv, wenn Kern(g)=0. Bei den anderen Aufgaben habe ich leider gar keinen Ansatz.

Dann ist doch alles klar:  U ist die 0 von V/U.

c)    (1) g:V/U →W surjektiv     und (2)    g°π=f

   f:V→W  Sei nun w∈W

==>  wegen (1) : Es gibt ein x ∈ V/U mit  g(x) = w.

x ist von der Form v+U mit v∈V. Also gibt es v∈V mit x=v+U

==>  π(v) = x also mit (2) g(π(v)) = g(x) = w.

umgekehrt: Wenn   f:V→W surjektiv ist, und w∈W

Dann gibt es v∈V  mit f(v) = w

==>   g( v+U) = g( π(v)) = f(v) = w .  Also g surjektiv.