Aufgabe:
Seien K ein Körper und A, B ∈ K2×2 \ {λ · I2 ; λ ∈ K}. Zeigen Sie folgende Aussagen:
a) Es gilt µA(X) = χA(X).
b) µA(X) ist der einzige normierte Elementarteiler von XA ungleich 1.
c) A ist konjugiert zu MµA(X).
d) A und B sind genau dann konjugiert, wenn A und B dieselbe Spur und dieselbe Determinante haben.
Problem/Ansatz:
Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich denke immer daran, dass das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt, aber irgendwie haut der Beweis der Aussagen nicht hin. Bei b) muss ich ja zeigen, dass der erste Elementarteiler, also der ggT aller 1x1 Minoren (d.h. aller Matrixeinträge) = 1 ist, aber da komme ich auch nicht weiter... Es scheitert schon bei a). Ich bin dankbar für eure Hilfe!
