Bestimmen Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen nach allen

Question

Aufgabe Bestimmen Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen nach allen Variablen der folgenden Funktionen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \).
(i)  \( f(x, y):=(3 x+5 y)^{4} \),
(ii)  \( g(x, y, z):=3 x e^{x y z} \).

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Answer 1

\( f(x, y):=(3 x+5 y)^{4} \)

==> \( \frac{df}{dx}=4(3 x+5 y)^{3}\cdot 3 \) und \( \frac{df}{dy}=4(3 x+5 y)^{3}\cdot 5 \)

\( g(x, y, z):=3 x e^{x y z} \)

==> \( \frac{dg}{dx}=3\cdot e^{x y z} + 3x\cdot e^{x y z}\cdot yz \)

 \( \frac{dg}{dy}=3 x e^{x y z} \cdot xz \)  und    \( \frac{dg}{dz}=3 x e^{x y z} \cdot xy \)