Aloha :)
Beim partiellen Ableiten behandelt man ja alle Variablen als Konstanten, bis auf diejenige Variable, nach der man ableitet. Bei der Funktion$$f(x;y)=\sin(x)\cdot\frac{1}{2}\left(e^y-e^{-y}\right)$$ist das schön zu sehen:
$$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\sin(x)\right)\cdot\underbrace{\frac{1}{2}\left(e^y-e^{-y}\right)}_{=\text{const}}=\cos(x)\cdot\frac{1}{2}\left(e^y-e^{-y}\right)$$$$f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\underbrace{\sin(x)}_{=\text{const}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}\left(e^y-e^{-y}\right)\right)=\sin(x)\cdot\frac12\left(e^y+e^{-y}\right)$$
Bei den zweiten partiellen Ableitungen geht dies so weiter:
$$f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\cos(x)\right)\cdot\underbrace{\frac{1}{2}\left(e^y-e^{-y}\right)}_{=\text{const}}=-\sin(x)\cdot\frac{1}{2}\left(e^y-e^{-y}\right)$$$$f_{xy}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\sin(x)\right)\cdot\underbrace{\left(\frac{1}{2}\left(e^y+e^{-y}\right)\right)}_{=\text{const}}=\cos(x)\cdot\frac{1}{2}\left(e^y+e^{-y}\right)$$$$f_{yx}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}=\underbrace{\cos(x)}_{=\text{const}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}\left(e^y-e^{-y}\right)\right)=\cos(x)\cdot\frac{1}{2}\left(e^y+e^{-y}\right)$$$$f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}=\underbrace{\sin(x)}_{=\text{const}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}\left(e^y+e^{-y}\right)\right)=\sin(x)\cdot\frac{1}{2}\left(e^y-e^{-y}\right)$$
