Bestimmen Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen von f .

Question

Aufgabe:

Es sei \( f: \; \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch

\( f(x, y)=\arctan (x y) . \)

(a) Bestimmen Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen von \( f \).

Problem/Ansatz:

Ist das so richtig

Habe es so verstanden, dass man jeweils zwei mal nach x und und dann zwei mal nach y ableitet.

Text erkannt:

a) \( \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) & =\frac{1}{1+(x y)^{2}} \cdot y=\frac{y}{1+(x y)^{2}}= \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x, y) & =\frac{(x y)^{2}-2 x y^{3}}{1+2(x y)^{2}+(x y)^{4}} \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) & =\frac{x}{1+(x y)^{2}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x, y) & =\frac{(x y)^{2}-2 y x^{3}}{1+2(x y)^{2}+(x y)^{4}}\end{aligned} \)

Comments

Du kannst auch zuerst nach x und dann nach y ableiten. Oder umgekehrt.

---

Zum Kontrollieren:

https://www.ableitungsrechner.net/

---

@ FS: Nur zur Sicherheit, weil txman widersprüchlich formuliert hat: Deine 2. partielle Ableitung nach x ist falsch.

---

Wenn du meine Antwort liest, steht da nirgends das ich gesagt habe, das seine zweiten Ableitungen stimmen. Ich bin bei meinem richtigen Beitrag direkt auf meine Lösung eingegangen.

Answer 1

Hallo.

Genau, du hast es richtig verstanden. Für die partielle Ableitung nach x, leitest du nach x ab, so wie du es auch von Funktionen mit einer Variable kennst und dabei betrachtest du die zweite Variable y als eine beliebige Zahl. Für die partielle Ableitung nach y eben umgekehrt. Deine ersten Ableitungen sehen auch richtig aus.

Jedoch geht es für die zweiten partiellen Ableitungen einfacher.

Die erste partielle Ableutung nach y ist ja die Funktion mit y / (1+ x^2 y^2). Wenn du das jetzt nochmal nach x ableiten möchtest, sprich die zweite partielle Ableitung nach x bestimmen möchtest, kannst du y als Vorfaktor rausziehen (y betrachtest du ja als Zahl) und leitest nur den Ausdruck

1 / (1+ x^2 y^2) = (1+x^2 y^2)^(-1) nach x ab.

Mit Kettenregel erhälts du dann, wenn du y wieder danach dranmultiplizierst:

-2xy^3 / (1+ x^2 y^2)^2 und das ist deine zweite partielle Ableitung nach x. Für y analog.

——

Edit: Deine Lösung war nicht richtig. Ich habe es überlesen. Deshalb ist es jetzt besonders empfehlenswert, das du dich an meiner Lösung orientierst.

Comments

Deine Ableitungen sehen auch richtig aus.

Warum rechnest Du dann eine abweichende zweite Ableitung von f aus?

---

@Mathhilf manchmal stellst du echt Fragen…

Ich habe ihm eine Möglichkeit gegeben es leichter und effektiver zu berechnen. Er kann ja gerne bei seinem bleiben, was ja auch richtig ist.

---

Deine Ableitungen sehen auch richtig aus.

Warum rechnest Du dann eine abweichende zweite Ableitung von f aus?

Meine Frage bezieht sich nicht auf den Rechenweg, sondern auf das Ergebnis

---

Nochmal: Ich habe ihm nur eine Alternative gegeben, wie er es leichter hätte machen könne. Natürlich kommt da dann auch eine andere Schreibweise raus. Sonst wäre es doch sinnlos.

---

Das Ergebnis des FS ist falsch. Dein Ergebnis ist richtig.

Deshalb würde ich nicht sagen

Er kann ja gerne bei seinem bleiben, was ja auch richtig ist.

---

Stimmt, hast Recht. Habe gar nicht so scharf auf seine Lösung da mit den zweiten Ableitungen geachtet.

Dann habe ich ja nichts falsch gemacht, ihm die richtige Lösung bzw. Vorgehensweise zu zeigen.

---

Dann habe ich ja nichts falsch gemacht

Doch. Du hast ihr mitgeteilt:

Deine Ableitungen sehen auch richtig aus.

und das erst Stunden später korrigiert.

---

@döschwo

Ja ,,sehen auch richtig aus‘‘ heisst nicht unbedingt das es stimmen muss. Wer Deutsch kann, kann das verstehen. Wenn ich mir zu hundert Prozent sicher gewesen wäre, das er es richtig gemacht hat, so hätte ich direkt geschrieben, das es richtig ist. Ich habe absichtlich ungenau geschrieben, da ich es mir auch nur halb angeschaut habe.

Mein Ziel: Ich habe in meiner Antwort mich komplett auf meinen Lösungsweg bezogen!

Ich habe seinen mir nur grob angeschaut. Es ist doch jetzt völlig irrelevant, wenn der FS sowieso schon die richtige Lösung kennt und mit der Vorgehensweise vertraut ist.

---

@ Txman: Hast Du vergessen, was Du eben noch geschrieben hast:

Er kann ja gerne bei seinem bleiben, was ja auch richtig ist.

Und auf solche schnoddrigen Antworten kann ich auch verzichten

@Mathhilf manchmal stellst du echt Fragen

---

Dann hättest du am Anfang es auch direkt sagen können als hier mich zu verwirren.