Zeigen Sie Es sei f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definiert durch

Question

Aufgabe . Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( f(x, y):=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2 x y^{3}-2 x^{3} y}{x^{2}+y^{2}} & \text { falls }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { falls }(x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)
für \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \). Zeigen Sie:
(i)  Es ist \( \partial_{x} f(0, y)=2 y \) und \( \partial_{y} f(x, 0)=-2 x \) für \( x, y \in \mathbb{R} \).
(ii)  Es gilt \( f \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \).
(iii)  Es ist \( \partial_{y} \partial_{x} f(0,0)=2 \) und \( \partial_{x} \partial_{y} f(0,0)=-2 \).
(iv)  Es gilt \( f \notin C^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \).

Comments

Für die allererste Aufgabe müsstest Du den Grenzwert von

$$\frac{1}{h}[f(h,y)-f(0,y)], \quad h \to 0$$

untersuchen, das könntest Du doch mal machen.