Es sei f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} mit f: x \mapsto \sqrt{1+x} .

Question

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Aufgabe 20 (10 Punkte). Es sei \( f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f: x \mapsto \sqrt{1+x} \).
(i) Bestimmen Sie das Taylor-Polynom vom Grad 3 zu \( f \) in \( x_{0}=0 \).
(ii) Zeigen Sie, dass
\( \left|\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{157}{128}\right|<\frac{1}{400} \)
gilt, indem Sie die Integralform des Restgliedes \( R_{4}^{0}(f) \) geeignet abschätzen.