Sei T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} die lineare Abbildung gegeben durch

Question

Text erkannt:

Aufgabe 1 (10 Punkte). Sei \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung gegeben durch
\( \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} 2 x+y \\ y+2 z \\ x+z \end{array}\right) \)
sowie \( \mathcal{B}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) und \( \mathcal{C}=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right) \) Basen von \( \mathbb{R}^{3} \), wobei
\( b_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad c_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), c_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), c_{3}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
Des weiteren sei \( \mathcal{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \).
(i) (3 Punkte) Geben Sie die Dartstellungsmatrix \( [T]_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} \) an und begründen Sie, dass \( T \) bijektiv ist.
(ii) (5 Punkte) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \), d. h. die darstellende Matrix von \( T \) bezüglich \( \mathcal{B} \) und \( \mathcal{C} \).
(iii) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Übergangsmatrix \( \mathcal{U}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}:=\left[\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^{3}}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) von \( \mathcal{B} \) nach \( \mathcal{C} \).

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

\( \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} 2 x+y \\ y+2 z \\ x+z \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 2&1&0 \\ 0&1&2 \\ 1&0&1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)\)

Da hast du die Matrix für Teil (i).

Und deren Determinante ist nicht 0 und Definitionsbereich = Zielbereich,

also T bijektiv.

Für (ii) bilde die einzelnen Vektoren der Basis des Def.bereichs ab und

stelle die Bilder mit der Basis des Zielbereiches dar.

Die drei Koeffizienten, die du dafür

brauchst, bilden die entsprechende Spalte der Matrix.