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Aufgabe:

1) Sei p>0 p>0 und g : RR,g(x) : =xp g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x):=|x|^{p} . Man soll hier die Äquivalenz zeigen

\ g \) ist differenzierbar in 0p>1 0 \Leftrightarrow p>1 .


2) Geben Sie ein Beispiel für eine beschränkte Funktion f : [0,1]R f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} an, bei der die Ableitungsfunktion f : [0,1]R f^{\prime}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} unbeschränkt ist.

3) Seien f,g : RR f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} Funktionen. Die Funktion f f sei stetig in 0 und g g sei differenzierbar in 0 mit g(0)=0 g(0)=0 . Man soll hier zeigen, dass gf : RR g \cdot f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} in 0 differenzierbar ist, und die Ableitung auch berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich mit diesen Aufgaben anfangen soll. Habe den Faden verloren …

Ich bedanke mich im Voraus

Gruß

xx Löwenzahn xx

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Für 1 kannst Du einfach den Differenzenquotien aufstellen und schauen, ob er konvergiert.

Zu 2)

Soll die Ableitungsfunktion ff' wirklich auf dem abgeschlossenen
Intervall [0,1][0,1] definiert sein?

@ermanus

Ja, genau..

Ich hatte ursprünglich an f(x)=xf(x)=\sqrt{x} gedacht.

Aber diese Funktion ist nur in (0,1](0,1] differenzierbar,

nicht in [0,1][0,1].

Ich denke, es geht mit

x3/2sin(1/x)x^{3/2}\sin(1/x)

Mit 0 im Nullpunkt.

Ja. An sowas habe ich auch gedacht.
Ich hatte nur Schwierigkeiten mir vorzustellen,
dass Dozenten, die unter anderem ihre StudentInnen
zur Mathematik ermuntern wollen, solche Spezialitäten
aushecken. Es sei denn, dass verwandte Beispiele
in den Übungen oder der Vorlesung behandelt wurden.

Ja, ich hatte auch erst an einen Druckfehler gedacht.

@ermanus

Nein wurde nicht gemacht. Die Aufgaben sind verdammt schwer.

Die 1. Aufgabe ist nicht schwer!

Zu 1) so ungefähr?

p>0g : RR,g(x) : =xpg(x)={xp,x<0xp,x>0g(x)={pxp1,x<0pxp1,x0 \begin{array}{l} p>0 \quad g: R \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x):=|x|^{p} \\ g(x)=\left\{\begin{array}{ll} -x^{p} & , x<0 \\ x^{p} & , x>0 \end{array}\right. \\ g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll} -p x^{p-1} & , x<0 \\ p \cdot x^{p-1} & , x \geqslant 0 \end{array}\right. \end{array}
" " \leftarrow "Widerspruchsbeweis
sei p=1 p=1 , dann ist
g(x)={1,x<01,x0 g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc} -1 & , x<0 \\ 1 & , x \geqslant 0 \end{array}\right.
Somit sehen wir, dass die links und rechtsseitige Steigung (Ableitung) nicht gleich ist. Somit ist f nicht diffbar. für  p1 p \leqslant 1 .
somit muss p>1 p>1 , damit g g in 0 diffbar ist.
“ \Rightarrow
damit g g in 0 diffbar ist, müssen die rechts und linksseitige steigungen (Ableitungen) identisch sein.
Widerspruchsbeweis: wir nehmen an das g g in 0 ist nicht diffbar. D.h. die links und rechtsseitige Ableitung ist nicht gleich.
Dies ist der fall bei p1 p \leqslant 1 :
g(x)={1,x<01,x0. g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc} -1, & x<0 \\ 1, & x \geq 0 . \end{array}\right.
somit ist g g in 0 diffbar wenn p > 1.

@ermanus @mathhilf haben Sie auch ein Tipp zu der 3. Aufgabe?

Du hast bei Deinen Ausführungen nicht erklärt, wie Du von der Stetigkeit oder Unstetigkeit der Ableitung in einer Umgebung des Nullpunkts auf die Existenz der Ableitung im Nullpunkt schließt. Den Fall p<1 hast Du nicht bearbeitet. Ich schreibe mal eine Lösung.

Für die 3. Aufgabe verwende meinen ersten Kommentar.

@mathhilf habe keinen gescheiten Ansatz leider ..


So ?

f,g : RRg(0)=0gf : RRfg(0)=f0=0(gf)(0)=0(gf)(0)=0 \begin{array}{l} f , g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ g(0)=0 \\ g \cdot f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ f \cdot g(0)=f \cdot 0=0 \Rightarrow(g \cdot f)(0)=0 \\ (g \cdot f)‘(0)=0 \\ \end{array}

Na, ich schreibs auch mal in die Lösung

@mathhilf wie sind sie auf x3/2 sin(1/x) gekommen? (Aufgabe 2)

Wie Ermanus schon gesagt hat: Diese Konstruktion mit sin(1/x) ist ein Standard-Beispiel für die Fragen nach (stetiger) Differenzierbarkeit. Je nach Vorfaktor xp kann man sich mehr oder weniger "Glattheit" basteln. Als Anfänger wird man da wohl nicht so leicht drauf kommen.

Da haben sie recht, ich wäre niemals da drauf gekommen. Könnten Sie die aufgabe auch als  Lösung aufschreiben `?

Du brauchst doch nur noch ableiten, das müsstest Du jetzt schaffen.

sin(1x)x32 \sin \left(\frac{1}{x}\right) x^{\frac{3}{2}}
Kann ich auch die Funktion umschreiben damit man es leichter berechnen kann? Also so:

Nullstellen auch vereinfachen
3sin(1x)x2cos(1x)x \frac{3 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \sqrt{x}}{2}-\frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}

umschreiben


3sin(1x)x2cos(1x)2x \frac{3 \sin \left(\frac{1}{x}\right) x-2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)}{2 \sqrt{x}}

1 Antwort

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Für p<1 ist g im Nullpunkt nicht differenzierbar:

g(0+h)g(0)h=hp1 fu¨h0|\frac{g(0+h)-g(0)}{h}|=|h|^{p-1} \to \infty \text{ für }h \to 0

Für p=1 ist g im Nullpunkt nicht differenzierbar:
g(0+h)g(0)h=hh\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{|h|}{h}Dies ist gleich 1 für positive h und gleich -1 für negative h; daher ist der Differenzenquotient divergent.

Für p>1 ist g im Nullpunkt differenzierbar:
g(0+h)g(0)h=hp10 fu¨h0|\frac{g(0+h)-g(0)}{h}|=|h|^{p-1} \to 0 \text{ für } h \to 0

Also ist g(0)=0g'(0)=0.

Zur 3. Aufgabe:

Wir untersuchen den Differenzenquotienten:

1h(fg(h)fg(0))=1h(f(h)g(h)f(0)g(0))=1h(f(h)g(h))=1h(f(h)g(h)f(h)g(0))=f(h)g(h)g(0)hf(0)g(0)\frac{1}{h}(f \cdot g(h)-f \cdot g(0))=\frac{1}{h}(f(h)g(h)-f(0)g(0))=\frac{1}{h}(f(h)g(h))\\=\frac{1}{h}(f(h)g(h)-f(h)g(0))=f(h)\frac{g(h)-g(0)}{h} \to f(0)g'(0)

Avatar von 14 k

Zu Aufgabe 3).

Ist das völlig ausreichend?

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