Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Äquivalenz folgender Aussagen Zeigen?

Question

Sei R ein Ring und M ein R-Modul.

a) Zeigen, Äquivalenz folgender Aussagen:

◦ M ist frei und endlich erzeugt;

◦ M ≅R^m für ein geeignetes m ∈ ℕ.

b) Sei N ⊂ M ein Untermodul.

Zeigen: l_R(N) ≤ l_R(M).

c) Sei N ⊂ M ein Untermodul und gelte l_R(M) < ∞.

Zeigen: N ≠ M ist äquivalent zu l_R(N) < l_R(M).

d) Man bestimme die Länge von (ℤ/15ℤ)⁴ als ℤ-Modul.

Hoffe ihr könnt mir helfen..

Danke an die Schlauen da draußen!

LG

Answer 1

a) 

a) Zeigen, Äquivalenz folgender Aussagen:

◦ M ist frei und endlich erzeugt; 

Also gibt es endlich viele ( etwa m Stück) Erzeugende,

etwa a1,a2,..., am  in M, so dass jedes a aus M in der

Form  x1*a1+x2*a2+....xn*an = a mit xi aus R darzustellen ist.

Und "frei" heißt doch keines der ai läßt sich durch die anderen a's

darstellen, also sind die ai über R lin. unabhängig.

Dann ist die Abbildung, die jedem

x1*a1+x2*a2+....xn*an = a das m-Tupel

(x1,x2,....,xm) zuordnet ein Isomorphismus

◦ M ≅R^m für ein geeignetes m ∈ ℕ. 

umgekehrt genauso, Basis von M liefert

m Stück freie Erzeugende von M.