Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen: Orthonormalbasen im Endlichdimensionalen

Question

Aufgabe:

Sei (V, <.,.>) ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum und sei S = (v₁, ..., v_r) ein orthonormales System von Vektoren, d.h.〈v_i,v_j〉= δ_i,j (Kronecker Delta).

Zeigen Sie:

a.) S ist eine Basis.

b.) Äquivalenz der folgendenen Aussagen zeigen (Ringschluss):

(i) S ist eine Basis

(ii) Ist v ∈ V ein Vektor, so dass stets〈v, vi〉= 0 für alle i= 1,···,r gilt, so folgt v= 0.

(iii) Für jeden Vektor v ∈ V gilt v =\( \sum\limits_{i=1}^{r}{<v,vi>vi} \)

Problem/Ansatz:

Aufgabe a.) habe ich schon gefunden, deshalb kann ich auch gleich Aussage (i) verwenden um anschließend (ii) zu zeigen usw., aber mir fehlt die Struktur, dass sauber aufzuschreiben.

Kann mir Jemand bei den Beschreibungen des Ringschlusses helfen?