Sei \( V \) ein (nicht notwendigerweise endlich dimensionaler) \( \mathbb{K} \)-Vektorraum und \( \Phi \in \operatorname{End}(V) \). Wir betrachten die folgenden vier Aussagen:
i) \( \operatorname{Kern}(\Phi) \cap \operatorname{Bild}(\Phi)=\{0\} \).
ii) \( V=\operatorname{Kern}(\Phi)+\operatorname{Bild}(\Phi) \).
iii) \( \operatorname{Kern}(\Phi)=\operatorname{Kern}\left(\Phi^{2}\right) \).
iv) \( \operatorname{Bild}(\Phi)=\operatorname{Bild}\left(\Phi^{2}\right) \).
a) Zeigen Sie, dass die Aussagen i) und iii) äquivalent sind.
b) Zeigen Sie, dass die Aussagen ii) und iv) äquivalent sind.
c) Zeigen Sie, dass alle vier Aussagen äquivalent sind, wenn \( V \) endlich dimensional ist.
d) Finden Sie im Fall \( V=\mathbb{K}^{2} \) jeweils ein explizites Beispiel für \( \Phi \), sodass alle vier Aussagen wahr bzw. alle vier Aussagen falsch sind.
