Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussage

Question

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2. Aufgabe Es sei \( K \) ein Körper und \( V \neq\{0\} \) ein endlichdimensionaler \( K \)-Vektorraum der Dimension \( n \in \mathbb{N} \). Weiter sei \( f: V \rightarrow V \) eine \( K \)-lineare Abbildung. Wir schreiben \( \chi_{f}=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} T^{i} \in K[T] \). Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen.
1. \( f \) ist bijektiv.
2. \( a_{0} \neq 0 \).
Schreiben Sie im Fall der Bijektivität von \( f \) die inverse Abbildung \( f^{-1}: V \rightarrow V \) als eine \( K \)-Linearkombination der Elemente \( f^{i}, 0 \leq i<n \).

Aufgabe Lineare Algebra

Problem/Ansattz

Es sei K ein Körper und V ̸= {0} ein endlichdimensionaler K-Vektorraum der Dimension n ∈ N. Weiter sei f : V → V eine K-lineare Abbildung. Wir schreiben χf = ni=0 aiTi ∈ K[T]. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen.
1. f ist bijektiv

2. a0 ̸= 0.
Schreiben Sie im Fall der Bijektivität von f die inverse Abbildung f −1 : V → V als eine
K-Linearkombination der Elemente fi, 0 ≤ i < n.

Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Aufgabe

Comments

Es wäre sicher ganz hilfreich gewesen, wenn du uns
mitgeteilt hättest, dass \(\chi_f\) das charakteristische Polynom
von \(f\) sein soll!

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Sorry habe das total vergessen!

Answer 1

Es gilt \(a_0=\pm\det(f)\), somit ist \(a_0\neq 0 \iff \det(f)\neq 0 \iff f \) bijektiv.

Im Falle der Bijektivität:

Cayley-Hamilton liefert \(\sum_{i=1}^n a_i f^i+a_0=\chi_f(f)=0\).

Da \(f\) in \(K[f]\) invertierbar ist, liefert Multiplikation mit \(f^{-1}\):

\(\sum_{i=1}^n a_if^{i-1}+a_0f^{-1}=0\), also$$f^{-1}=\sum_{i=0}^{n-1}(-\frac{a_{i+1}}{a_0})f^i$$

Comments

Vielen Dank ! Hast mir sehr geholfen