Also da G abelsch ist wissen wir, dass das
a) Assoziativgesetz und
b)Kommutativgesetz gilt und das es ein
c) inverses und
d) ein neutrales Element existiert.
Ich muss die Aufgabe ja durch einen Ringschluss beweisen. Wie fange ich genau an? Für einen Gruppenhomomorphismus muss ich ja zeigen, das
f(x*y)=f(x)*f(y) ist wobei x,y ∈ G sind und * eine Verknüpfung ist.
Muss ich jetzt für die Verknüpfung ein mal die Addition und ein mal die Multiplikation benutzen?
Von a) nach d) wäre ja einfach, da g^-1 das Inverse zu g ist bzgl der Multiplikation und da es laut a) ein Inveses existiert, ist dieses auch wieder in G. Wie mache ich das jedoch mit der Addtion?
Von a) nach c) wäre doch f(x*y)=(x*y)^2, wobei * erstmal eine beliebige Verknüpfung ist. Für + wäre (x+y)^2= x^2+2xy+y^2 und für • (xy)^2=x^2y^2. Wie zeige ich jetzt, dass diese Elemente wieder in G liegen?
und wie zeige ich zum Schluss d)?
Schon mal Danke für die Hilfe