Sei G eine Gruppe. Zeige folgende Äquivalenz

Question

Also da G abelsch ist wissen wir, dass das

a) Assoziativgesetz und

b)Kommutativgesetz gilt und das es ein

c) inverses und

d) ein neutrales Element existiert.

Ich muss die Aufgabe ja durch einen Ringschluss beweisen. Wie fange ich genau an? Für einen Gruppenhomomorphismus muss ich ja zeigen, das

f(x*y)=f(x)*f(y) ist wobei x,y ∈ G sind und * eine Verknüpfung ist.

Muss ich jetzt für die Verknüpfung ein mal die Addition und ein mal die Multiplikation benutzen?

Von a) nach d) wäre ja einfach, da g^-1 das Inverse zu g ist bzgl der Multiplikation und da es laut a) ein Inveses existiert, ist dieses auch wieder in G. Wie mache ich das jedoch mit der Addtion?

Von a) nach c) wäre doch f(x*y)=(x*y)^2, wobei * erstmal eine beliebige Verknüpfung ist. Für + wäre (x+y)^2= x^2+2xy+y^2 und für • (xy)^2=x^2y^2. Wie zeige ich jetzt, dass diese Elemente wieder in G liegen?

und wie zeige ich zum Schluss d)?

Schon mal Danke für die Hilfe

Answer 1

f(x*y)=f(x)*f(y) ist wobei x,y ∈ G sind und * eine Verknüpfung ist.

weder noch, dass ist irgendeine Verknüpfung, nämlich die von der Gruppe G.

Für den Schluss von (a) nach (b) müsstest du so beginnen:

Sei G abelsch.

Betrachte für ein k aus Z die Abb  f : G ---> G  mit  g --> g^k  .

Um die Endomorphismuseigenschaft zu zeigen, musst du zeigen

Für alle g,h ∈ G gilt   f( g*h) = f(g) * f(h) .

Also fang mal an:

 f( g*h)  = (g*h)^k = ................ = g^k * h^k = f(g) * f(h)

möglicherweise habt ihr für abelsche Gruppen  (g*h)^k = g^k * h^k  

schon mal irgendwo bewiesen.   Sonst braucht es hier wohl Induktion.

Comments

Wenn ich schon von a) nach b) bewiesen habe, habe ich doch c) und d) bereits auch gezeigt da -1 und 2 Elemente in Z sind oder?

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Sehe ich auch so, dann musst du noch von d nach a.

Das könnte so gehen:

Es gilt d) .

Seien nun g,h ∈ G.  Und n das neutrale El.

Dann ist wegen d)  (g*h)^-1 = g^-1 * h^-1

Andererseits gilt in jeder Gruppe

                               (g*h)^-1 =  h^-1 * g^-1

also hier      h^-1 * g^-1 = g^-1 * h^-1    | *h von rechts

                  ( h^-1 * g^-1 )*h= ( g^-1 * h^-1 ) * h

                     h^-1 * (g^-1 *h)=  g^-1 * ( h^-1  * h)

              h^-1 * (g^-1 *h)=  g^-1 * n

                 h^-1 * (g^-1 *h)=  g^-1    | * h von links

                  h*( h^-1 * (g^-1 *h))=  h* g^-1

               ... wie oben gibt das

                             g^-1 *h=  h* g^-1    | * g von rechts

                           ( g^-1 *h ) *g= ( h* g^-1 ) * g  gibt dann

                           g^-1 * h  *g=  h  | * g von links

gibt letztlich      h*g = g*h    q.e.d.

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dann musst du noch von d nach a.

Was folgt aus c. ?

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Ach ja, vorher hatte man ja nur b ==> c   und  b==> d

aber man braucht noch c ==> d .