a) Gruppenhomomorphismus heißt
h(x⊕y) = h(x)⊕h(y)
<=> (x⊕y)^(-1) = x^(-1)⊕y^(-1)
Das gilt, falls G kommutativ ist, sonst gilt ja nur
(x⊕y)^(-1) = y^(-1)⊕ x^(-1).
b) Bei S3 findest wohl ein Gegenbeispiel,
so sehr viele Elemente gibt es da ja nicht.
2. h : ⟨G1, ⊕1⟩ → ⟨G2, ⊕2⟩ ein Gruppenhomomorphismus.
Sei h Injektiv. und x ∈ Kern(h) , also h(x) = e2
Wegen Hom. gilt jedenfalls h(e1) = e2 also
Wegen Injektiv also x = e1.
umgekehrt: Sei Kern(h) = {e1}
und x,y aus G1 mit h(x) = h(y)
h(x) ⊕2 h(y)^(-1) = e2
h ( x ⊕1 y^(-1) ) = e2
x ⊕1 y^(-1) ∈ Kern(h)
x ⊕1 y^(-1) = e1
x = e1 ⊕1 y = y
also h Injektiv.