Seien ⟨G,⊕G⟩, ⟨H,⊕H⟩ Gruppen und φ: ⟨G,⊕G⟩↦⟨H,⊕H⟩ ein Gruppenhomomorphismus. Beweise: G/Kern(φ) ist isomorph zu Bild(φ)

Question

kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen?

Seien ⟨G, ⊕_G⟩ , ⟨H, ⊕_H⟩ Gruppen und φ : ⟨G, ⊕_G⟩ ↦ ⟨H, ⊕_H⟩ ein Gruppenhomomorphismus.

Beweisen Sie: G/Kern(φ) ist isomorph zu Bild(φ).

Comments

Hallo Niase, hallo Community, der Satz ist interessant, und ich habe ihn nicht gleich verstanden.  Daher habe ich ein Beispiel gemacht, siehe Foto.  Wie man sieht, gilt
G\Kern(φ) isomorph zu Bild(φ)

hier nicht.  Was tun?

)

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Was tun?

/ ≠ \ beachten.

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Hallo hj2166, vielen Dank für den Tipp.  Was bedeutet „A/B“ ?  Das finde ich nicht in https://de.wikipedia.org/wiki/Menge_(Mathematik). 

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https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation#Menge_der_%C3%84quivalenzklassen_und_Index

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Hallo hj2166, in der von dir angegebenen Definition von A/B ist A eine Menge und B eine Äquivalenzrelation.  Aber bei G/Kern(φ) ist doch Kern(φ) eine Teilmenge von G und keine Äquivalenzrelation.  Was machen wir da? 

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Die Äquivalenzrelation ist  a ~ b   ⇔   φ(a) = φ(b)    ( ⇔  a - b  ∈  Kern(φ)  )

Du kannst ja auch mal https://de.wikipedia.org/wiki/Faktorgruppe#Faktorgruppe_nach_Kernen_von_Homomorphismen  lesen.

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Hallo hj2166, vielen Dank für diesen Link.  Ich schätze, das muss ich mir in einer ruhigen Minute (Stunden :-) ) mal aneignen.  Hallo Niase, der Link von hj2166 führt dich auf den Homomorphiesatz in Wikipedia.  Inclusive Beweis.

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