Kern von Gruppenhomomorphismus berechnen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass durch
φ(z) := 2^z
ein Gruppenhomomorphismus von (Z,+) nach (Q\ {0},·) definiert wird. Geben Sie außerdem den Kern ker(φ) dieses
Gruppenhomomorphismus an. Ist φ injektiv?

Problem/Ansatz:

Gruppenhomo haben ich gezeigt, aber wie gebe ich jetzt den Kern davon an? Mein Ansatz wäre:

ker(φ):= {z ∈ Z : φ(z)=n_{Q\ {0}}}.

Und zum 3. Teil der Aufgabe weiß ich auch nicht weiter. Dazu meine Idee:

Injektiv, wenn ker(φ) trivial ist.

Comments

Du meinst wohl

$$\varphi(z)=2^z$$

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@EmNero Ups ja sorry. Meinte 2^z

Answer 1

sei \(\phi: (\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{Q}\setminus 0, \cdot)\) mit \( \phi(z)=2^z\). Wie man sich unschwer überlegt, sind \((\mathbb{Z},+)\) und \( (\mathbb{Q}\setminus 0, \cdot)\) Gruppen. Dann ist

\(\phi(z_1 + z_2)=2^{z_1+z_2}=2^{z_1} \cdot 2^{z_2}=\phi(z_1)\cdot \phi(z_2) \Rightarrow\) Die Abbildung \(\phi\) ist ein Gruppenhomomorphismus.

Der Kern einer Abbildung \(\phi\) ist definiert als

\(ker \phi = \{z \in G| \phi(z)=1 \}= \{z\in G| 2^z=1\}=\{z \in G | z=0\} =\{0\}\).

Seien nun für \(z_1,z_2 \in G \), \(\phi(z_1)=\phi(z_2)\) Dann gilt

\(\phi(z_1)=\phi(z_2) \Leftrightarrow 2^{z_1}=2^{z_2} \Leftrightarrow log(2^{z_1})=log(2^{z_2}) \Leftrightarrow z_1=z_2 \Rightarrow\) die Abbildung \(\phi\) ist injektiv \(\square\)