Definiere \(W:S_3\rightarrow GL(3,R)\) durch
\(W(\sigma)(e_i)=e_{\sigma(i)}\), wobei \(e_1,e_2,e_3\)
die Standardeinheitsvektoren des \(R^3\) sind,
d.h. \(W(\sigma)\) ist die Matrix, in deren i-ter Spalte
der Vektor \(e_{\sigma(i)}\) steht.
\(S_3\) wird von Transpositionen erzeugt.
Es ist \(W((1 2))(e_1)=e_2,\; W((1 2))(e_2)=e_1,\; W((1 2))(e_3)=e_3\)
\(W((1 2))\) ist also die Matrix, die die Spalten \(e_1\) und \(e_2\)
der Einheitsmatrix vertauscht, daher ist \(\det(W((1 2)))=-1\).
Für die anderen Transpositionen \(\tau\) gilt ganz entsprechend
\(\det(W(\tau))=-1\). Wegen der Multiplikativität der Determinante
ergibt sich daraus die Behauptung \(\det(W(\sigma))=sign(\sigma)\).
