Gruppenhomomorphismus f : Z→Z

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Gruppe (Z, +). Bestimmen Sie alle möglichen Gruppenhomomorphismen f : Z→Z.

Problem/Ansatz:

Z und Z seien Gruppen. Bei einem Gruppenhomomorphismus muss gelten x,y ∈ G gilt: f(x◦y) = f(x)◦' f(y).

Nun weiß ich allerdings leider nicht, wie das auf die Abbildung mit ganzen Zahlen angewendet werden kann und wie ich dadurch alle möglichen Gruppenhomomorphismen bestimmen kann. 
Ich bin dankbar über jegliche Hilfe! 

Answer 1

Sei f ein Gruppenhomomorphismus auf (ℤ, +).

Für jedes n ∈ ℤ gilt f(n) = f(n + 0) = f(n) + f(0). Also ist

(1)        f(0) = 0.

Für jedes n ∈ ℤ gilt 0 = f(0) = f(-n + n) = f(-n) + f(n) wegen (1). Also ist

(2)        f(-n) = -f(n) für jedes n ∈ ℤ.

Sei f(1) = n. Dann ist f(-1) = -n wegen (2).

Außerdem ist

         f(m) = f(∑_i=1..m1) = ∑_i=1..m f(1) für jedes m∈ℤ mit m > 0

und

        f(m) = f(∑_i=1..-m -1) = ∑_i=1..-m f(-1) für jedes m∈ℤ mit m < 0.

Also ist f durch f(1) eindeutig bestimmt.