Geben Sie alle Gruppenhomomorphismen und alle Ringhomomorphismen Z→Z an.

Question

Aufgabe:

Geben Sie alle Gruppenhomomorphismen und alle Ringhomomorphismen Z→Z an. Begründen Sie jeweils, warum Ihre Liste vollständig ist.

Problem/Ansatz:

Hi, ich weiß leider nicht ganz wie ich diese Aufgabe lösen kann, weil ich ja irgendwie keine Information habe, außer, dass es eine Abbildung von den ganzen Zahlen auf die ganze Zeit ist und ich auch noch nicht ganz verstanden habe, wie ich Ringhomorphismen oder Gruppenhomorphismen finde

Answer 1

Ein Ringhomomorphismus \(\varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) erfüllt

        \(\varphi(n) = \varphi\left(\sum_{i=1}^n 1\right) = \sum_{i=1}^n\varphi(1) = n\cdot \varphi(1)\)

und

      \(\varphi(-n) = \varphi\left(\sum_{i=1}^n -1\right) = \sum_{i=1}^n\varphi(-1) = n\cdot \varphi(-1)\)

für alle \(n\in \mathbb{N}\). Dabei ist

      \(\varphi(0) = \varphi(0+0) = \varphi(0) + \varphi(0)\)

also

        \(\varphi(0) = 0\)

und somit

        \(0 = \varphi(0) = \varphi(1 + (-1)) = \varphi(1) + \varphi(-1)\)

also

        \(\varphi(-1) = -\varphi(1)\).

Der Ringhomomorphismus \(\varphi\) ist also durch \(\varphi(1)\) eindeutig bestimmt.

Comments

Hi, vielen Dank erstmal :)

Ich habe nur noch nicht ganz verstanden, sind das jetzt alle Ringhomomorphismen, die es auf Z gibt? Und wenn warum das alles sind?

Und wie kommt man auf das Summenzeichen?

Und könntest du mir auch sagen, wie ich das für die Gruppenhomorphismen machen kann. Das Thema ist leider echt noch neu für mich. (Weil ich hätte das jetzt eigentlich genauso gemacht für die Gruppen)

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sind das jetzt alle Ringhomomorphismen,

Ich habe keinen einzigen Ringhomomorphismus angegeben. Ich habe bewiesen:

Für jedes \(z\in \mathbb{Z}\) gibt es höchstens einen Ringhomomorphismus \(\varphi\) mit \(\varphi(1) = z\).

Du müsstes noch herausfinden, für welche \(z\in\mathbb{Z}\) es tatsächlich einen Ringhomomorphismus gibt.

Und wie kommt man auf das Summenzeichen?

Ich habe irgendwann in der ersten Klasse gelernt, dass man jede natürliche Zahl als Summe von geeignet vielen Einsen darstellen kann.

Das man dazu nicht jede Eins hinschreiben muss, sondern durch das Summenziechen abkürzen kann, habe ich dann in der 11. Klasse gelernt. Ich kann mich aber nicht mehr erinnern, in welchem Zusammenhang. Vermutlich ging es um kumulierte Binomialverteilung oder um den Beweis des binomischen Lehrsatzes.

Weil ich hätte das jetzt eigentlich genauso gemacht für die Gruppen

Schau mal nach, ob ich in dem Beweis irgendeine Eigenschaft von Ringhomomorphismen verwendet habe, die nicht notwendigerweise für Gruppenhomomorphismen gilt. Falls nein, dann gilt die Aussage auch für Gruppenhomomorphismen.