Beweise, dass das Bild von f eine Untergruppe von G' ist. f: G → G' sei ein Gruppenhomomorphismus.

Question

Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe. Wie beweise ich:

Es sei f : G -->G´ ein Gruppenhomorphismus. Zeigen Sie, dass das Bild jeder Untergruppe von G und das Urbild jeder Untergruppe von G´ jeweils wieder Untergruppen sind.

Sei f: G → G' ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass das Bild von f eine Untergruppe von G' ist.

Ich weiß zwar, dass gelten muss ∀x, y ∈G: f(x·y) = f(x)•f(y) für den Gruppenhormophismus und weiß auch wie eine Untergruppe und ein Bild definiert sind, aber weiß nicht wie ich den Beweis führen soll.

Answer 1

Ein Gruppenhomomorphismus ist folgendermaßen definiert:
 

Sind (G, ·) und (G', •) Gruppen, dann heißt f:G->G' Gruppenhomomorphismus genau dann wenn:

∀x, y ∈G: f(x·y) = f(x)•f(y)

 

Zu zeigen ist nun, dass f(G) bezüglich • abgeschlossen ist, das also aus

I) u, v ∈f(G) direkt u•v∈f(G) folgt und dass mit

II) u ∈ f(G) auch u^-1 ∈f(g) folgt.

ad I): Seien u, v ∈ f(G) das heißt: Es existieren x, y ∈ G mit den Eigenschaften:

f(x) = u und f(y) = v

Weil f ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt f(x·y) = f(x)•f(y) = u•v. Wegen x·y∈G folgt also u•v∈f(G).

 

ad II): Sei u ∈ f(G), das heißt: Es existiert ein x ∈ G mit der Eigenschaft:
f(x) = u

Weil (G, ·) eine Gruppe ist, besitzt x ein Inverses x^-1.

Bezeichne f(x^-1) = v ∈ f(G)

Wegen f(x) = f(x·e_G) = f(x) • f(e_G) gilt e_f(G) = f(e_G) also:

e_f(G) = f(e_G) = f(x·x^-1) = f(x) • f(x^-1) = u • v

Es gilt also: v = u^-1. Da v∈f(G) gilt also auch u^-1∈f(G), was zu zeigen war.

 

Da beide Bedingungen erfüllt sind, ist f(G) Untergruppe von G'.

Answer 2

Inwieweit beweist das, dass f(G) ⊂ G' und 1 ∈ f(G)?

Definition 2.1.8 Sei (G, ·) eine Gruppe und H ⊂ G eine Teilmenge, dann heißt H eine Untergrupp von G wenn gilt:
1. 1 ∈ H,
2. x, y ∈ H ⇒ x · y ∈ H,
3. x ∈ H ⇒ x^{−1} ∈ H.

Comments

f(G) ⊂ G' ist nicht zu zeigen, denn f(G) ist definiert als die Menge aller Elemente der Bildmenge, für die ein Urbild existiert. Das heißt:
Für f:G->G' ist definiert:

f(G) = {y∈G': ∃x∈G: f(x) = y}

Also ist f(G) zwangsläufig Teilmenge von G', weil f nach G' abbildet.

 

Zum zweiten Punkt: es ist für mich natürlich ein bisschen schwierig, weil ich überhaupt nicht weiß, wie eure ganzen Definitionen aussehen.
Allerdings folgt bei deinen drei Punkten der erste aus den anderen beiden, ist also überflüssig. Denn:

Wenn aus x ∈ H automatisch x^-1∈H folgt, dann gilt auch x*x^-1 ∈ H. Da x und x^-1 aber Elemente von G sind, gilt nach Definition des Inversen, dass bei ihrem Produkt das Einselement von G herauskommt. Nach der zweiten Regel liegt aber jedes Produkt zweier Elemente von H wieder in H, also liegt das Einselement von G in H.

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viel zu kompliziert..jeder gruppenhom. bildet e auf e ab. jede untergruppe muss e enthalten.

die aussage war ja wenn man eine untergruppe abbildet, oder das urbild einer untergruppe bildet, also wird von e abgebildet und da kommt halt wieder e raus

verstanden?