Beweisen: In einem Gruppenhomomorphismus ist das Urbild einer Untergruppe wieder eine Untergruppe

Question

Gegeben ist ein Gruppenhomomorphismus f:G->G' und eine Untergruppe U von G'.

Zu zeigen ist, dass das Urbild f^-1(U) wieder eine Untergruppe ist. 

 

Mein Plan war die Charakteristik zu verwenden, dass I. f^-1(U)≠{ }, II. ∀x∈f^-1(U) folgt x^-1∈f^-1(U) und III. ∀x,y∈f^-1(U) x*y ∈f^-1(U)

 

I.und III. habe ich auch schon ohne Probleme bewiesen, aber II reizt mich. Mein Ansatz bis jetzt ist, dass wenn x∈f^-1(U) ist folgt, dass f(x)∈U und da U eine Gruppe ist, gilt auch f(x)^-1∈U. Wie haben bewiesen, dass f(e_G)=e_G' und ich weiß ja, dass e_G'= f(x)*f(x)^-1, aber hier komme ich nicht mehr weiter.

 

Einfach die Gruppenhomomorphie ausnutzen und alles zusammen ziehen, funktioniert nicht richtig, weil wir noch nicht gezeigt haben, dass f(x)^-1=f(x^-1). Und wenn ich die Definition von Urbild hier richtig verstanden habe, muss ja x nicht unbedingt aus G sein (oder?), weil mehrere Elemente auf G' abbilden können und so stecke ich irgendwie.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Bewiesen: In einem Gruppenhomomorphismus ist das Urbild einer Untergruppe wieder eine Untergruppe

Um zu zeigen, dass das Urbild \(f^{-1}(U)\) einer Untergruppe \(U\) von \(G'\) unter einem Gruppenhomomorphismus \(f: G \rightarrow G'\) selbst eine Untergruppe von \(G\) ist, gehen wir systematisch die Untergruppen-Kriterien durch. Insbesondere konzentrieren wir uns auf das zweite Kriterium, das besagt, dass für alle \(x \in f^{-1}(U)\) auch \(x^{-1} \in f^{-1}(U)\) gelten muss. Dieses Kriterium verlangt einen etwas komplexeren Beweisansatz als die anderen beiden Kriterien.

Um das zweite Kriterium zu beweisen, müssen wir zeigen:

1. Das Urbild \(f^{-1}(U)\) ist nicht leer. (Die Bedingung I ist bereits bewiesen)
2. Für jedes \(x \in f^{-1}(U)\) folgt, dass \(x^{-1} \in f^{-1}(U)\).
3. Für alle \(x, y \in f^{-1}(U)\) folgt, dass \(x \ast y \in f^{-1}(U)\). (Die Bedingung III ist bereits bewiesen)

Zum Beweis von II:

Gegeben ist, dass ein Element \(x\) im Urbild \(f^{-1}(U)\) liegt, d.h., \(x \in f^{-1}(U)\). Dies bedeutet per Definition des Urbilds, dass \(f(x) \in U\).

Da \(U\) eine Untergruppe von \(G'\) ist, gilt, dass für jedes Element \(u \in U\), das inverse Element \(u^{-1}\) ebenfalls ein Element von \(U\) ist. Also, wenn \(f(x) \in U\), dann folgt ^(f(x))^{-1} \in U\).

Um von der Tatsache, dass \(f(x)^{-1} \in U\), zu \(x^{-1} \in f^{-1}(U)\) zu kommen, nutzen wir die Eigenschaft eines Gruppenhomomorphismus, speziell die Homomorphie-Eigenschaft, welche besagt:

\( f(x \ast x^{-1}) = f(x) \ast' f(x^{-1}) = e_{G'} \)

Da \(f(e_{G}) = e_{G'}\) gilt und \(x \ast x^{-1} = e_{G}\), haben wir \(f(x^{-1}) = (f(x))^{-1}\).

Nun wissen wir, dass \((f(x))^{-1} \in U\), also folgt, dass das Element \(x^{-1}\), dessen Bild unter \(f\) das Inverse von \(f(x)\) ist, im Urbild von \(U\) liegt, also \(x^{-1} \in f^{-1}(U)\).

Zusammengefasst: Da \(f(x) \in U\), haben wir gezeigt, dass \((f(x))^{-1} \in U\). Unter Nutzung der Homomorphismus-Eigenschaften können wir schlussfolgern, dass \(f(x^{-1}) = (f(x))^{-1}\), was impliziert, dass \(x^{-1}\) ebenfalls ein Element des Urbilds \(f^{-1}(U)\) ist.

Mit diesem Argument haben wir alle notwendigen Bedingungen erfüllt, um zu beweisen, dass das Urbild einer Untergruppe unter einem Gruppenhomomorphismus wieder eine Untergruppe ist.