Sei ⟨G, ⊕⟩ eine Gruppe und h: G→G gegeben durch h(x) = x^(-1). Zeigen Sie: h ist Gruppenhomomorphismus wenn G kommutativ

Question

kann mir jemand bei der Lösung folgender Aufgabe helfen?

1. Sei ⟨G, ⊕⟩ eine Gruppe und h : G → G gegeben durch h(x) =_df x^-1.

a) Zeigen Sie, dass h ein Gruppenhomomorphismus ist, falls G kommutativ ist.

b) Zeigen Sie, dass h für beliebige Gruppen im Allgemeinen kein Homomorphismus ist.
Geben Sie ein Gegenbeispiel unter Verwendung der symmetrischen Gruppe S₃ an.

2. Seien ⟨G₁, ⊕₁⟩ und ⟨G₂, ⊕₂⟩ Gruppen mit neutralen Elementen e₁ bzw. e₂. Sei weiterhin
h : ⟨G₁, ⊕₁⟩ → ⟨G₂, ⊕₂⟩ ein Gruppenhomomorphismus.
Beweisen Sie: h ist injektiv ⇔ Kern(h) = {e₁}

Wenn jemand auch nur etwas nur einer Teilaufgabe weiß würde mir das schon weiterhelfen!

Answer 1

a)  Gruppenhomomorphismus heißt

        h(x⊕y) = h(x)⊕h(y)

<=>   (x⊕y)^(-1) =  x^(-1)⊕y^(-1)

Das gilt, falls G kommutativ ist, sonst gilt ja nur

  (x⊕y)^(-1) =   y^(-1)⊕ x^(-1).

b) Bei S3 findest wohl ein Gegenbeispiel,

so sehr viele Elemente gibt es da ja nicht.

2. h : ⟨G1, ⊕1⟩ → ⟨G2, ⊕2⟩ ein Gruppenhomomorphismus.

Sei h Injektiv.  und x ∈ Kern(h) , also h(x) = e2

Wegen Hom. gilt jedenfalls h(e1) = e2 also

Wegen Injektiv also x = e1.

umgekehrt:  Sei Kern(h) = {e1}

und x,y aus G1 mit h(x) = h(y)

       h(x) ⊕2 h(y)^(-1) = e2

       h ( x ⊕1 y^(-1) ) = e2

         x ⊕1 y^(-1)  ∈  Kern(h)

             x ⊕1 y^(-1) = e1

                   x = e1 ⊕1 y = y

also h Injektiv.

Comments

den Schritt hier 

h(x) ⊕2 h(y)^(-1) = e2
h ( x ⊕1 y^(-1) ) = e2 

verstehe ich nicht ganz, was passiert da?

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h ist ein Homomorphismus, also

ist

Das Inverse von h von y das gleiche wie

h vom Inversen von y , also kurz

h(y)^(-1) = h(y^(-1)) .

Also würde aus

h(x) ⊕2 h(y)^(-1) = e2
erst mal

h(x) ⊕2 h(y^(-1) )= e2     #

Und bei Homomorphismen gilt ja immer

h(a⊕1 b) =h(a) ⊕2  h(b)

Dies von rechts nach links gelesen

überführt # in

h ( x ⊕1 y^(-1) ) = e2 

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Vielen Dank!