Man zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus f : S3 → G gibt, so dass H = Ker(f ).

Question

Aufgabe:

Sei H die Untegruppe {(1), (12)} von S3. Man zeige, dass es keinen
Gruppenhomomorphismus f : S3 → G gibt, so dass H = Ker(f ).

Hallo, ich wollte das mit einem Widerspruchsbeweis beweisen.

Mein Versuch:

Sei e(G) das neutrale Eelement von G.

Angenommen es gäbe einen Gruppenhomomorphismus mit f((1))=f((1,2))=e(G).

Hier würde ich jetzt irgendwie die Eigenschaften eines Gruppenhomomorphismus zu nutzen, bekomme aber nichts nützliches raus.

Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Kerne von Gruppenhomomorphismen sind Normalteiler.

Aber \(H\) ist kein Normalteiler, da \((1\;3)(1\;2)(1\;3)^{-1}=(2\;3)\notin H\).