Zeigen Sie, dass es keinen surjektiven Gruppenhomomorphismus Φ: G → {1, −1} gibt.

Question

Aufgabe:

Es seien (G, ∗) eine Gruppe mit neutralem Element e_G und (H, ·) eine weitere Gruppe.
a) Geben Sie die Definition eines Gruppenhomomorphismus Φ: G → H an und beweisen Sie, dass
für solch einen Gruppenhomomorphismus Φ(e_G) das neutrale Element von H ist.
b) Nun besitze G die Eigenschaft, dass für alle g ∈ G eine ungerade natürliche Zahl n existiert mit
gⁿ = e_G.
Zeigen Sie, dass es keinen surjektiven Gruppenhomomorphismus Φ: G → {1, −1} gibt.

Problem/Ansatz:

a) hier bin ich mir ziemlich sicher, da ich keine Lösungen habe, würde ich mich dennoch über kurze Rückmeldung freuen. Meine Lösung: Sei g1 und g2 Element der Gruppe und ψ: G → H eine Abbildung. Es handelt sich um einen Gruppenhomomorphimus, falls ψ(g1*g2) = ψ(g1) · ψ(g2) gilt.

für den zweiten Teil lautet mein Lösungsansatz wiefolgt:  ψ(e_G*g2) = ψ(e_G) · ψ(g2)   -->   ψ(g2) = e_H · ψ(g2) = ψ(g2)

b) hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz und bitte um Hilfe!

Vielen Dank im Voraus!!

Answer 1

für den zweiten Teil lautet mein Lösungsansatz wie folgt:

ψ(eG*g2) = ψ(eG) · ψ(g2)  -->  ψ(g2) = eH · ψ(g2) = ψ(g2)

Das würde ich deutlicher machen:

ψ(g2)  =  ψ(eG*g2) = ψ(eG) · ψ(g2)

Multiplikation (von rechts) mit dem Inversen von · ψ(g2)

(Das existiert, weil H eine Gruppe ist.) ergibt

ψ(g2) ·  ψ(g2)^(-1) =( ψ(eG) · ψ(g2)) ·  ψ(g2)^(-1)

assoziativ und Def. des Inversen ergeben

eG =  ψ(eG) · ( ψ(g2) ·  ψ(g2)^(-1) )

==>   e_G =  ψ(e_G) · e_H    Def. neutral. El

==>  eG =  ψ(eG) .

b) Angenommen, es gäbe so ein Φ. Aus a) folgt ja schon  Φ(e_G)=1

Denn in der Gruppe (  {1, −1} , · ) ist 1 das neutr. El.

Da Φ surjektiv ist, gibt es ein g ∈ G mit  Φ(g)=-1

Nach Vor. existiert eine ungerade natürliche Zahl n

mit gⁿ = eG.  ==>  Φ ( g^n ) = Φ ( eG) = 1 

Wegen der Hom-Eigenschaft gilt aber auch

                 Φ( g^n ) = Φ ( g )^n =(-1)^n = -1

weil n ungerade.   ==>   1 = -1   Widerspruch !