Sei p>0 und g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x):=|x|^{p} . Äquivalenz zeigen

Question

Aufgabe:

1) Sei \( p>0 \) und \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x):=|x|^{p} \). Man soll hier die Äquivalenz zeigen

\ g \) ist differenzierbar in \( 0 \Leftrightarrow p>1 \).

2) Geben Sie ein Beispiel für eine beschränkte Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) an, bei der die Ableitungsfunktion \( f^{\prime}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) unbeschränkt ist.

3) Seien \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) Funktionen. Die Funktion \( f \) sei stetig in 0 und \( g \) sei differenzierbar in 0 mit \( g(0)=0 \). Man soll hier zeigen, dass \( g \cdot f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) in 0 differenzierbar ist, und die Ableitung auch berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich mit diesen Aufgaben anfangen soll. Habe den Faden verloren …

Ich bedanke mich im Voraus

Gruß

xx Löwenzahn xx

Comments

Für 1 kannst Du einfach den Differenzenquotien aufstellen und schauen, ob er konvergiert.

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Zu 2)

Soll die Ableitungsfunktion \(f'\) wirklich auf dem abgeschlossenen
Intervall \([0,1]\) definiert sein?

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@ermanus

Ja, genau..

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Ich hatte ursprünglich an \(f(x)=\sqrt{x}\) gedacht.

Aber diese Funktion ist nur in \((0,1]\) differenzierbar,

nicht in \([0,1]\).

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Ich denke, es geht mit

$$x^{3/2}\sin(1/x)$$

Mit 0 im Nullpunkt.

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Ja. An sowas habe ich auch gedacht.
Ich hatte nur Schwierigkeiten mir vorzustellen,
dass Dozenten, die unter anderem ihre StudentInnen
zur Mathematik ermuntern wollen, solche Spezialitäten
aushecken. Es sei denn, dass verwandte Beispiele
in den Übungen oder der Vorlesung behandelt wurden.

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Ja, ich hatte auch erst an einen Druckfehler gedacht.

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@ermanus

Nein wurde nicht gemacht. Die Aufgaben sind verdammt schwer.

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Die 1. Aufgabe ist nicht schwer!

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Zu 1) so ungefähr?

\( \begin{array}{l} p>0 \quad g: R \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x):=|x|^{p} \\ g(x)=\left\{\begin{array}{ll} -x^{p} & , x<0 \\ x^{p} & , x>0 \end{array}\right. \\ g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll} -p x^{p-1} & , x<0 \\ p \cdot x^{p-1} & , x \geqslant 0 \end{array}\right. \end{array} \)
\( " \leftarrow \) "Widerspruchsbeweis
sei \( p=1 \), dann ist
\( g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc} -1 & , x<0 \\ 1 & , x \geqslant 0 \end{array}\right. \)
Somit sehen wir, dass die links und rechtsseitige Steigung (Ableitung) nicht gleich ist. Somit ist f nicht diffbar. für  \( p \leqslant 1 \).
somit muss \( p>1 \), damit \( g \) in 0 diffbar ist.
\(“ \Rightarrow \)“
damit \( g \) in 0 diffbar ist, müssen die rechts und linksseitige steigungen (Ableitungen) identisch sein.
Widerspruchsbeweis: wir nehmen an das \( g \) in 0 ist nicht diffbar. D.h. die links und rechtsseitige Ableitung ist nicht gleich.
Dies ist der fall bei \( p \leqslant 1 \) :
\( g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc} -1, & x<0 \\ 1, & x \geq 0 . \end{array}\right. \)
somit ist \( g \) in 0 diffbar wenn p > 1.

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@ermanus @mathhilf haben Sie auch ein Tipp zu der 3. Aufgabe?

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Du hast bei Deinen Ausführungen nicht erklärt, wie Du von der Stetigkeit oder Unstetigkeit der Ableitung in einer Umgebung des Nullpunkts auf die Existenz der Ableitung im Nullpunkt schließt. Den Fall p<1 hast Du nicht bearbeitet. Ich schreibe mal eine Lösung.

Für die 3. Aufgabe verwende meinen ersten Kommentar.

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@mathhilf habe keinen gescheiten Ansatz leider ..

So ?

\( \begin{array}{l} f , g:  \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ g(0)=0 \\ g \cdot f:  \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ f \cdot g(0)=f \cdot 0=0 \Rightarrow(g \cdot f)(0)=0 \\ (g \cdot f)‘(0)=0 \\ \end{array} \)

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Na, ich schreibs auch mal in die Lösung

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@mathhilf wie sind sie auf x^3/2 sin(1/x) gekommen? (Aufgabe 2)

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Wie Ermanus schon gesagt hat: Diese Konstruktion mit sin(1/x) ist ein Standard-Beispiel für die Fragen nach (stetiger) Differenzierbarkeit. Je nach Vorfaktor x^p kann man sich mehr oder weniger "Glattheit" basteln. Als Anfänger wird man da wohl nicht so leicht drauf kommen.

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Da haben sie recht, ich wäre niemals da drauf gekommen. Könnten Sie die aufgabe auch als  Lösung aufschreiben `?

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Du brauchst doch nur noch ableiten, das müsstest Du jetzt schaffen.

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\( \sin \left(\frac{1}{x}\right) x^{\frac{3}{2}} \)
Kann ich auch die Funktion umschreiben damit man es leichter berechnen kann? Also so:

Nullstellen auch vereinfachen
\( \frac{3 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \sqrt{x}}{2}-\frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}} \)

umschreiben

\( \frac{3 \sin \left(\frac{1}{x}\right) x-2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)}{2 \sqrt{x}} \)

Answer 1

Für p<1 ist g im Nullpunkt nicht differenzierbar:

$$|\frac{g(0+h)-g(0)}{h}|=|h|^{p-1} \to \infty \text{  für }h \to 0$$

Für p=1 ist g im Nullpunkt nicht differenzierbar:
$$\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{|h|}{h}$$Dies ist gleich 1 für positive h und gleich -1 für negative h; daher ist der Differenzenquotient divergent.

Für p>1 ist g im Nullpunkt differenzierbar:
$$|\frac{g(0+h)-g(0)}{h}|=|h|^{p-1} \to 0 \text{  für } h \to 0$$

Also ist \(g'(0)=0\).

Zur 3. Aufgabe:

Wir untersuchen den Differenzenquotienten:

$$\frac{1}{h}(f \cdot g(h)-f \cdot g(0))=\frac{1}{h}(f(h)g(h)-f(0)g(0))=\frac{1}{h}(f(h)g(h))\\=\frac{1}{h}(f(h)g(h)-f(h)g(0))=f(h)\frac{g(h)-g(0)}{h} \to f(0)g'(0)$$

Comments

Zu Aufgabe 3).

Ist das völlig ausreichend?

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Was fehlt Dir an der Überlegung?