Zeigen Sie folgende Äquivalenz beider Aussagen: p(x) ∈ ℝ für alle x ∈ ℝ. <=> alle Koeffizienten von p sind reell

Question

Aufgabe:

Sei p ∈ ℂ[X]. Zeigen Sie, dass dann die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) p(x) ∈ ℝ für alle x ∈ ℝ.
(ii) Alle Koeffizienten von p sind reell.

Problem/Ansatz:

Meine Vermutung ist, dass man wie üblich (i) ⇒ (ii) und (ii) ⇒ (i) zeigen muss. Ich komme aber bei beiden Implikationen zu keinen Ansatz.

Comments

\((ii)\rightarrow (i)\) ist trivial !

Dass ein reelles Polynom beim Einsetzen reeller Werte

nur reelle Werte liefern kann, dürfte doch wohl kein Wunder sein, oder?

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Aber es ist ja noch nicht klar ob das Polynom wirklich reell ist, denn die Polynomfunktion p(x) ist ja ein Element von den Komplexen Polynomen. Falls man ein Polynom a*x hat, kann es doch sein, dass wenn a reell ist, x komplex sein kann und somit ist das ganze Polynom komplex. Oder verstehe ich da was falsch?

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Bei (i) werden doch nur reelle Werte eingesetzt.

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Sorry, Ersti hier. Wenn man (ii) ⇒ (i) zeigt, muss man dann nicht (i) aus (ii) konstruieren und nicht schon bereits gegebene Informationen aus (i) annehmen?

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Welche Informationen aus (i) übernehme ich denn ?

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Dass ein reelles Polynom beim Einsetzen reeller Werte nur reelle Werte liefern kann

Diese Eigenschaften: p(x) ∈ ℝ für alle x ∈ ℝ ?

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Ist \(x\in \mathbb{R}\) und sind \(a_0,\cdots , a_n\in \mathbb{R}\), dann

ist \(\sum_{i=0}^n a_ix^i\in \mathbb{R}\), da \(\mathbb{R}\) ein Körper ist.

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Genau, aber woher weiß man, dass x ∈ ℝ ist? Ist das unproblematisch, wenn man das annehmen darf? Meine Herangehensweise wäre eher so:
(ii) ⇒ (i): Negiere man (i): p(x) ∉ ℝ ∃ x ∈ ℝ.
Wir wissen ∀a_k ∈ ℝ. Da (k=0 bis n) ∑ a_k · x^k macht die negierte Aussage (i) keinen Sinn, denn a_k    und alle x^k  ∈ ℝ. Wegen Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation in ℝ ist dann auch

p(x) =(a_k· x^k)∈ ℝ
Demnach muss die negierte Aussage (i) falsch sein und (ii) ⇒ (i) gelten.

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Genau, aber woher weiß man, dass x ∈ ℝ ist? Ist das unproblematisch, wenn man das annehmen darf?

Ehrlich gesagt verstehe ich dein Problem nicht.

Du willst zeigen:

\(p=\sum a_iX^i\) mit \(a_0,\cdots,a_n\in \mathbb{R}\;\Rightarrow \forall x\in \mathbb{R}:\; p(x)\in \mathbb{R}\).

Um aus (ii) auf (i) zu schließen, musst du also nachweisen,

dass reelle x reelle Werte p(x) liefern.

Answer 1

Hallo

mindestens ein Koeffizient von p ist nicht reell , konstruiere einen Widerspruch  zu p(x) reell für alle x.

Gruß  lul

Comments

Sei p(x) =  ∑ⁿ_k=0 a_k · x^k.
Annahme: p(x) ist reell für alle x ∈ ℝ.
x ∈ ℝ und demnach auch x^k ∈ ℝ. Es gibt aber mind. einen Koeffizienten a_k∈ ℂ. Demnach kann p(x) für diesen Fall nicht reell sein, denn dann ist:
a_k∈ℂ ⊇ ℝ. Multipliziert man a_k mit x^k, dann folgt wegen der Abgeschlossenheit des komplexen Körpers, das auch p(x) ∈ ℂ ist.
Daraus folgt, dass jeder Koeffizient auch in ℝ sein muss, damit p(x) ∈ ℝ.

Ist das so verständlich für (i) ⇒ (ii)?
Wie geht man am besten an (ii) ⇒ (i) ran?

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Hallo Mammuso,

betrachte p(x)=ix^2+ix+1. Dann ist p(-1)=1.

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Du musst wirklich benutzen, dass p(x) reell für ALLe x, für einzelne x hat dir ja Ermanus gezeigt, das es nicht wahr sein muss. p(xi)=reell=ri für mindestens 1 komplexes ai dann folgt  p(x)-r=0  hat höchstens n Nullstellen

lul