Aufgabe:
Sei \( V=\operatorname{Mat}(2 \times 2, \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}) \) der Vektorraum der \( 2 \times 2 \)-Matrizen über dem Körper mit 3 Elementen, \( K=\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \). Sei
\( \begin{aligned} b: V \times V & \rightarrow K \\ (M, N) & \mapsto \operatorname{Spur}\left(M^{T} N\right) . \end{aligned} \)
1) Finden Sie eine möglichst einfache Basis \( \mathcal{B} \) von \( V \).
2) Zeigen Sie, dass \( b \) eine symmetrische Bilinearform auf \( V \) definiert.
3) Zeigen Sie, dass \( b \) nicht ausgeartet ist, indem Sie die Gram-Matrix zu Ihrer Basis \( \mathcal{B} \) betrachten.
4) Zerlegen Sie \( V \) durch die Angabe von Basen in hyperbolische Ebenen und einen anisotropen Rest, \( V=H_{1} \perp H_{2} \perp \ldots \perp H_{k} \perp V^{\text {ani }} \).
